Question

如图（1），在平面直角坐标系中，矩形ABCO，B点坐标为（4，3），抛物线y=x²+bx+c经过矩形ABCO的顶点B、C，D为BC的中点，直线AD与y轴交于E点，与抛物线y=x²+bx+c交于第四象限的F点．
（1）求该抛物线解析式与F点坐标；
（2）如图（2），动点P从点C出发，沿线段CB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动；同时，动点M从点A出发，沿线段AE以每秒个单位长度的速度向终点E运动．过点P作PH⊥OA，垂足为H，连接MP，MH．设点P的运动时间为t秒．
①问EP+PH+HF是否有最小值？如果有，求出t的值；如果没有，请说明理由．
②若△PMH是等腰三角形，请直接写出此时t的值．

Answer

（1）由矩形的性质可求出C点的坐标，把B和C点的坐标代入y=x2+bx+c求出b和c的值即可该抛物线解析式；设直线AD的解析式为y=k1x+b1把A（4，0）、D（2，3）代入求出一次函数的解析式，再联立二次函数和一次函数的解析式即可求出F点的坐标；
（2）①连接CF交x轴于H′，过H′作x轴的垂线交BC于P′，当P运动到P′，当H运动到H′时，EP+PH+HF的值最小；②过M作MN⊥OA交OA于N，再分别讨论当PM=HM时，M在PH的垂直平分线上，当PH=PM时，求出符合题意的t值即可．
【解析】
（1）∵矩形ABCO，B点坐标为（4，3）
∴C点坐标为（0，3）
∵抛物线y=x2+bx+c经过矩形ABCO的顶点B、C，
∴，
解得：，
∴该抛物线解析式y=-x2+2x+3，
设直线AD的解析式为y=k1x+b1
∵A（4，0）、D（2，3），
∴∴，
∴，
联立，
∵F点在第四象限，
∴F（6，-3）；
（2）①∵E（0，6），∴CE=CO，（如图（1）），
连接CF交x轴于H′，过H′作x轴的垂线交BC于P′，当P
运动到P′，当H运动到H′时，EP+PH+HF的值最小．
设直线CF的解析式为y=k2x+b2
∵C（0，3）、F（6，-3），
∴，
解得：，
∴y=-x+3
当y=0时，x=3，
∴H′（3，0），
∴CP=3，∴t=3；
②如图1过M作MN⊥OA交OA于N，
∵△AMN∽△AEO，
∴，
∴，
∴AN=t，MN=，
I如图3，当PM=HM时，M在PH的垂直平分线上，
∴MN=PH，
∴MN=，
∴t=1；
II如图2，当PM=HP时，MH=3，MN=，
HN=OA-AN-OH=4-2t 在Rt△HMN中，MN2+HN2=MH2，
∴，
即25t2-64t+28=0，
解得：t1=2（舍去），；
III如图4，当PH=PM时，
∵PM=3，MT=，PT=BC-CP-BT=|4-2t|，
∴在Rt△PMT中，MT2+PT2=PM2，
即，
∴25t2-100t+64=0，
解得：，
综上所述：，，1，．