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在平面直角坐标系中,现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限,斜靠在两坐标轴上,...

在平面直角坐标系中,现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限,斜靠在两坐标轴上,点C为(-1,0).如图所示,B点在抛物线y=manfen5.com 满分网x2+manfen5.com 满分网x-2图象上,过点B作BD⊥x轴,垂足为D,且B点横坐标为-3.
(1)求证:△BDC≌△COA;
(2)求BC所在直线的函数关系式;
(3)抛物线的对称轴上是否存在点P,使△ACP是以AC为直角边的直角三角形?若存在,求出所有点P的坐标;若不存在,请说明理由.

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(1)首先根据题意推出∠BCD=∠COA,然后BC=AC,根据全等三角形的判定定理“AAS”定理,即可判定△BDC≌△COA; (2)首先(1)所得的结论,即可推出OC=BD=1,即可得B点的纵坐标,设出直线的函数关系式,把B,C两点的坐标代入,求出k、b,即可推出结论; (3)首先根据二次函数表达式,求出抛物线的对称轴,然后分情况进行分析①以AC为直角边,A点为直角顶点,根据题意推出P1点为BC与抛物线的对称轴的交点,根据直线BC的解析式和抛物线的解析式,即可推出P1点的坐标,②以AC为直角边,C点为直角顶点,做AP2⊥AC,设与抛物线的对称轴交于P2点,确定点P2的位置,由OA=CD,即可推出A点的坐标,根据AP2∥BC,即可推出直线AP2的解析式,结合抛物线对称轴的解析式,即可推出P2的坐标. (1)证明:∵AC⊥BC,BD⊥CD, ∴∠BDC=∠COA=90°,∠ACO+∠BCD=90°, ∴∠BCD=∠OAC, ∵△ABC为等腰直角三角形, ∴BC=AC, ∵在△BDC和△COA中 ∴△BDC≌△COA(AAS), (2)【解析】 ∵△BDC≌△COA, ∴BD=CO, ∵C点的坐标为(-1,0), ∴BD=OC=1, ∴B点的纵坐标为1, ∵B点的横坐标为-3, ∴B点的坐标为(-3,1), 设BC所在直线的函数关系式为y=kx+b, ∴, ∴解方程组得, ∴直线BC所在直线的解析式为:y=-x-, (3)【解析】 存在, ∵抛物线的解析式为:y=x2+x-2, ∴y=x2+x-2 =(x+)2-, ∴二次函数的对称轴为x=-, ①若以AC为直角边,C点为直角顶点,做CP1⊥AC, ∵BC⊥AC, ∴P1点为直线BC与对称轴直线x=-的交点, ∵直线BC所在直线的解析式为:y=-x-, ∴, ∴解得, ∴P1点的坐标为(-,-); ②若以AC为直角边,A点为直角顶点,对称轴上有一点P2,使AP2⊥AC, ∴过点A作AP2∥BC,交对称轴直线x=-于点P2, ∵OD=3,OC=1, ∴OA=CD=2, ∴A点的坐标为(0,2), ∴直线AP2的解析式为y=-x+2, ∴, ∴解得:, ∴P2点的坐标为(-,), ∴P点的坐标为P1(-,-)、P2(-,).
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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