Question

在平面坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），延长CB交x轴于点A₁，作正方形A₁B₁C₁C，延长C₁B₁交x轴于点A₂，作正方形A₂B₂C₂C₁，…按这样的规律进行下去，第2012个正方形的面积为（ ）

A．
B．
C．
D．

Answer

首先设正方形的面积分别为S1，S2…S2012，由题意可求得S1的值，易证得△BAA1∽△B1A1A2，利用相似三角形的对应边成比例与三角函数的性质，即可求得S2的值，继而求得S3的值，继而可得规律：Sn=5×（）2n-2，则可求得答案．
【解析】
∵点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），
∴OA=1，OD=2，
设正方形的面积分别为S1，S2…S2012，
根据题意，得：AD∥BC∥C1A2∥C2B2，
∴∠BAA1=∠B1A1A2=∠B2A2x，
∵∠ABA1=∠A1B1A2=90°，
∴△BAA1∽△B1A1A2，
在直角△ADO中，根据勾股定理，得：AD==，
∴AB=AD=BC=，
∴S1=5，
∵∠DAO+∠ADO=90°，∠DAO+∠BAA1=90°，
∴∠ADO=∠BAA1，
∴tan∠BAA1===，
∴A1B=，
∴A1C=BC+A1B=，
∴S2=×5=5×（）2，
∴==，
∴A2B1=×=，
∴A2C1=B1C1+A2B1=+==×（）2，
∴S3=×5=5×（）4，
由此可得：Sn=5×（）2n-2，
∴S2012=5×（）2×2012-2=5×（）4022．
故选D．