Question

如图，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN，则线段CN=    ，AM=    ．

Answer

过M作MG垂直CD交CD于G，根据勾股定理或解直角三角形的知识，于是想到直角三角形ECN，根据已知条件知EN=DN，而CN+DN=8，于是利用勾股定理可求CN，∠NEC的余弦，再根据倍角公式可求得cos∠MNG，从而求得GN，继而得出AM的长．
【解析】
设CN=xcm，因为是沿着MN对折，对折前后图形对称，则
EN=DN=（8-x）cm，E是中点，CE=4cm，据勾股定理，有
42+x2=（8-x）2，
解得x=3，即CN=3cm．
过M作MG垂直CD交CD于G，
易知MG=8cm，∠MNE=∠MNG=∠ENG，
而∠ENG=180°-∠ENC，cos∠ENC=，
可求得cos∠ENG=-，
再利用倍角公式 2（cos α）2-1=cos 2α，
可求得cos∠MNG=，
从而cot∠MNG=，
于是GN=×8=4cm，AM=DG=8-CN-GN=1cm．
故答案为：3cm和1cm．