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如图,在平面直角坐标系中,O是坐标原点,点A的坐标是(-4,0),点B的坐标是(...

manfen5.com 满分网如图,在平面直角坐标系中,O是坐标原点,点A的坐标是(-4,0),点B的坐标是(0,b)(b>0).P是直线AB上的一个动点,作PC⊥x轴,垂足为C.记点P关于y轴的对称点为P′(点P′不在y轴上),连接PP′,P′A,P′C.设点P的横坐标为a.
(1)当b=3时,
①求直线AB的解析式;
②若点P′的坐标是(-1,m),求m的值;
(2)若点P在第一象限,记直线AB与P′C的交点为D.当P′D:DC=1:3时,求a的值;
(3)是否同时存在a,b,使△P′CA为等腰直角三角形?若存在,请求出所有满足要求的a,b的值;若不存在,请说明理由.
(1)①利用待定系数法即可求得函数的解析式; ②把(-1,m)代入函数解析式即可求得m的值; (2)可以证明△PP′D∽△ACD,根据相似三角形的对应边的比相等,即可求解; (3)分P在第一,二,三象限,三种情况进行讨论.利用相似三角形的性质即可求解. 【解析】 (1)①设直线AB的解析式为y=kx+3, 把x=-4,y=0代入得:-4k+3=0, ∴k=, ∴直线的解析式是:y=x+3, ②由已知得点P的坐标是(1,m), ∴m=×1+3=; (2)∵PP′∥AC, △PP′D∽△ACD, ∴=,即=, ∴a=; (3)以下分三种情况讨论. ①当点P在第一象限时, 1)若∠AP′C=90°,P′A=P′C(如图1) 过点P′作P′H⊥x轴于点H. ∴PP′=CH=AH=P′H=AC. ∴2a=(a+4) ∴a= ∵P′H=PC=AC,△ACP∽△AOB ∴==,即=, ∴b=2 2)若∠P′AC=90°,(如图2),则四边形P′ACP是矩形,则PP′=AC. 若△P´CA为等腰直角三角形,则:P′A=CA, ∴2a=a+4 ∴a=4 ∵P′A=PC=AC,△ACP∽△AOB ∴==1,即=1 ∴b=4 3)若∠P′CA=90°, 则点P′,P都在第一象限内,这与条件矛盾. ∴△P′CA不可能是以C为直角顶点的等腰直角三角形. ②当点P在第二象限时,∠P′CA为钝角(如图3),此时△P′CA不可能是等腰直角三角形; ③当P在第三象限时,∠P′AC为钝角(如图4),此时△P′CA不可能是等腰直角三角形. 所有满足条件的a,b的值为:,.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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