Question

如图（1）所示，E为矩形ABCD的边BC上一点，动点P，Q同时从点B出发，点P沿折线BE-ED-DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒．设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm²．已知y与t的函数关系图象如图（2）（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论：①AD=BE=5；②；③当0＜t≤5时，；④当秒时，△ABE∽△QBP；其中正确的结论是（ ）
A．①②③
B．②③
C．①③④
D．②④

Answer

据图（2）可以判断三角形的面积变化分为三段，可以判断出当点P到达点E时点Q到达点C，从而得到BC、BE的长度，再根据M、N是从5秒到7秒，可得ED的长度，然后表示出AE的长度，根据勾股定理求出AB的长度，然后针对各小题分析解答即可．
【解析】
根据图（2）可得，当点P到达点E时点Q到达点C，
∵点P、Q的运动的速度都是1cm/秒，
∴BC=BE=5，
∴AD=BE=5，故①小题正确；
又∵从M到N的变化是2，
∴ED=2，
∴AE=AD-ED=5-2=3，
在Rt△ABE中，AB===4，
∴cos∠ABE==，故②小题错误；
过点P作PF⊥BC于点F，
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠PBF，
∴sin∠PBF=sin∠AEB==，
∴PF=PBsin∠PBF=t，
∴当0＜t≤5时，y=BQ•PF=t•t=t2，故③小题正确；
当t=秒时，点P在CD上，此时，PD=-BE-ED=-5-2=，
PQ=CD-PD=4-=，
∵=，==，
∴=，
又∵∠A=∠Q=90°，
∴△ABE∽△QBP，故④小题正确．
综上所述，正确的有①③④．
故选C．