Question

已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线，这条直线和x轴、y轴分别交于点A和点B，且OA=OB=1，这条曲线是函数的图象在第一象限内的一个分支，点P是这条曲线上任意一点，它的坐标是（a，b），由点P向x轴、y轴所作的垂线PM、PN（点M、N为垂足）分别与直线AB相交于点E和点F．
（1）设交点E和F都在线段AB上（如图所示），分别求点E、点F的坐标（用a的代数式表示点E的坐标，用b的代数式表示点F的坐标，只须写出答案，不要求写出计算过程）．
（2）求△OEF的面积（结果用a、b的代数式表示）．
（3）△AOF与△BOE是否一定相似？如果一定相似，请予以证明；如果不一定相似或者一定不相似，请简要说明理由．
（4）当点P在曲线上移动时，△OEF随之变动，指出在△OEF的三个内角中，大小始终保持不变的那个角和它的大小，并证明你的结论．

Answer

（1）设直线AB解析式为y=mx+n，将A与B坐标代入求出m与n的值，确定出直线AB解析式，根据F纵坐标为b，E横坐标为a，即可求出E与F的坐标；
（2）当PM、PN与线段AB都相交时，如图1所示，三角形EOF的面积由三角形AOB的面积减去三角形AOE的面积减去三角形BOF的面积，求出即可；当PM、PN中有一条与AB相交，另一条与BA延长线或AB延长线相交时，如图2和图3，同理求出三角形EOF的面积；
（3）△AOF与△BOE一定相似，根据题意易知∠A=∠B，要证△AOF与△BOE相似，只证夹边对应成比例即可；
（4）应用三角形内角和定理及内外角关系可求∠EOF=45°是一定值，即解．

【解析】
（1）根据题意设直线AB的解析式为y=mx+n，将A与B坐标代入得：，
解得：m=-1，n=1，
∴直线AB的解析式为y=-x+1，
将x=a代入解析式得：y=1-a；将y=b代入解析式得：x=1-b，
则点E的坐标是（a，1-a），点F的坐标是（1-b，b），
（2）当PM、PN与线段AB都相交时，如图1，
∴S△EOF=S△AOB-S△AOE-S△BOF
=×1×1-×1×（1-a）-×1×（1-b）=，
当PM、PN中有一条与AB相交，另一条与BA延长线或AB延长线相交时，如图2和图3，
∴S△EOF=S△FOA+S△AOE=×1×b+×1×（a-1）=，
∴S△EOF=S△FOB+S△BOE=×1×（b-1）+×1×a=，
则S△EOF=；
（3）△AOF和△BEO一定相似．
∵如图1，OA=OB=1，
∴∠OAF=∠EBO，
∴BE=BA-AE=-=a，
AF=BA-BF=-=b，
∵点P是函数y=图象上任意一点，
∴b=，即2ab=1，
∴a×b=1，即AF•BE=OB•OA，
∴=，
∴△AOF∽△BEO，
∵对图2，图3同理可证，
∴△AOF∽△BEO；
（4）当点P在曲线上移动时，在△OEF中，∠EOF一定等于45°，
由（3）知，△AOF∽△BEO，
∴∠AFO=∠BOE，
如图1，在△BOF中，∠AFO=∠BOF+∠B，
而∠BOE=∠BOF+∠EOF，
∴∠EOF=∠B=45°，
对图2，图3同理可证，
∴∠EOF=45°．