Question

已知：如图，把矩形纸片OABC放入直角坐标系xOy中，使OA、OC分别落在x轴、y轴的正半轴上，连接AC，将△ABC沿AC翻折，点B落在该坐标平面内，设这个落点为D，CD交x轴于点E．如果CE=5，OC、OE的长是关于x的方程x²+（m-1）x+12=0的两个根，并且OC＞OE．
（1）求点D的坐标；
（2）如果点F是AC的中点，判断点（8，-20）是否在过D、F两点的直线上，并说明现由．

Answer

（1）由于OC、OE的长是关于x的方程x2+（m-1）x+12=0的两个根，故可设OC=x1，OE=x2，x1＞x2．由根与系数的关系可知，x1+x2=-（m-1）．x1•x2=12．在Rt△COE中，由勾股定理可得出关于m的一元二次方程，求出m的值，故可得出x的值，进而得出OC，OE的长．再根据△ABC沿AC翻折后，点B的落点为点D．过D点作DG⊥x轴于G．DH⊥y轴于H．由反折变换的性质得出∠BCA=∠ACD．在矩形OABC中，CB∥OA，所以∠BCA=∠CAE．∠CAE=∠ACD．故EC=EA．由HL定理判断出Rt△COE≌Rt△ADE．在Rt△ADE中由DG•AE=ED•AD，
可得出DG的长，在△CHD中，因为OE∥HD，所以=可得出HD的长，再根据D是第四象限的点即可得出点D的坐标；
（2）根据F是AC的中点可得出点F的坐标，设过D、F两点的直线的解析式为y=kx+b（k≠0）．把D、F两点的坐标代入即可求出kb的值，故可得出其解析式，再把x=8，y=-20代入进行检验即可．
【解析】
（1）∵OC、OE的长是关于x的方程x2+（m-1）x+12=0的两个根，
设OC=x1，OE=x2，x1＞x2．
∴x1+x2=-（m-1）．x1•x2=12．
在Rt△COE中，
∵OC2+OE2=CE2，CE=5．
∴x12+x22=52，即（x1+x2）2-2x1x2=25．
∴[-（m-1）]2-2×12=25，
解这个方程，得m1=-6，m2=8．
∵OC+OE=x1+x2=-（m-1）＞0，
∴m=8不符合题意，舍去．
∴m=-6．
解方程x2-7x+12=0，得
x1=4，x2=3．
∴OC=4，OE=3．
△ABC沿AC翻折后，点B的落点为点D．过D点作DG⊥x轴于G．DH⊥y轴于H．
∴∠BCA=∠ACD．
∵矩形OABC中，CB∥OA．
∴∠BCA=∠CAE．
∴∠CAE=∠ACD．
∴EC=EA．
在Rt△COE与Rt△ADE中，
∵
∴Rt△COE≌Rt△ADE．
∴ED=3，AD=4，EA=5．
在Rt△ADE中，DG•AE=ED•AD，
∴DG==，
在△CHD中，OE∥HD，
∴=，=，
∴HD=，
由已知条件可知D是第四象限的点，
∴点D的坐标是（，-）；

（2）∵F是AC的中点，
∴点F的坐标是（4，2），
设过D、F两点的直线的解析式为y=kx+b．
∴，解得，
∴过点D、F两点的直线的解析式为y=-x+24，
∵x=8，y=-20满足上述解析式，
∴点（8，-20）在过D、F两点的直线上．