Question

如图，在△ABC中，BC=6，AC=4，∠C=45°，在BC边上有一动点P，过P作PD∥AB，与AC相交于点D，连接AP，设BP=x，△APD的面积为y．
（1）求y与x之间的函数关系式，并指出自变量x的取值范围．
（2）是否存在这样的P点，使得△APD的面积等于△ABP面积的？若存在，求出BP的长；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）设△ABP，△APD，△CDP的面积分别记为S1，S2，S3，由已知条件可求出△ABC中BC边上的高为4，设△CDP中PC边上的高为h，找到h和x的数量关系，则即可求出用x的代数式分别表示S1，S2，S3进而表示出△APD的面积y；
（2）存在，有（1）可知AE=4，进而求出，当使得△APD的面积等于△ABP面积的时，则，再解一元二次方程即可求出BP的长．
【解析】
（1）过A作AE⊥BC，则AE为BC边上的高，
由Rt△AEC中，AC=4，得到此三角形为等腰直角三角形，
∴sin45°=，即AE=ACsin45°=4×=4，
∴△ABC中BC边上的高为4，
设△CDP中PC边上的高为h，
∵PD∥AB，
∴△CDP∽△CAB，
∴，
∴h=（6-x）
这样S1=2x，S3=（6-x）•6-x）=（6-x）2，
S2=12-2x-（6-x）2，
即，
∵P点只能在线段BC上移动，且不能与B、C两点重合
∴函数自变量的取值范围是0＜x＜6；

（2）由（1）可知AE=4，
∴，
若则
即x2-2x=0解得x1=2，x2=0（舍去）
∵0＜2＜6，
∴在BC边上存在一点P（BP=2），使△APD的面积等于△ABP的面积的．