Question

已知抛物线y=ax²+bx+3在坐标系中的位置如图所示，它与x，y轴的交点分别为A，B，P是其对称轴x=1上的动点，根据图中提供的信息，给出以下结论：①2a+b=0，②x=3是ax²+bx+3=0的一个根，③△PAB周长的最小值是+3．其中正确的是（ ）

A．①②③
B．仅有①②
C．仅有①③
D．仅有②③

Answer

①根据对称轴方程求得a、b的数量关系；
②根据抛物线的对称性知抛物线与x轴的另一个交点的横坐标是3；
③利用两点间直线最短来求△PAB周长的最小值．
【解析】
①根据图象知，对称轴是直线x=-=1，则b=-2a，即2a+b=0．
故①正确；
②根据图象知，点A的坐标是（-1，0），对称轴是x=1，则根据抛物线关于对称轴对称的性质知，抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3，0），所以x=3是ax2+bx+3=0的一个根，故②正确；
③如图所示，点A关于x=1对称的点是A′，即抛物线与x轴的另一个交点．
连接BA′与直线x=1的交点即为点P，
则△PAB周长的最小值是（BA′+AB）的长度．
∵B（0，3），A′（3，0），
∴BA′=3．即△PAB周长的最小值是3+．
故③正确．
综上所述，正确的结论是：①②③．
故选A．