Question

目前，“低碳”已成为保护地球环境的热门话题，某高科技发展公司投资500万元，成功研制出一种市场需求量较大的低碳高科技产品，再投入资金1500万元作为固定投资．已知生产每件产品的成本是40元，在销售过程中发现：当销售单价定为100元时，年销售量为20万件；销售单价每增加10元，年销售量将减少1万件，设销售单价为x（元），年销售量为y（万件），年获利为z（万元）．（年获利=年销售额-生产成本-投资），
（1）试写出z与x之间的函数关系式．
（2）请通过计算说明到第一年年底，当z取最大值时，销销售单价x应定为多少？此时公司是盈利了还是亏损了？
（3）若该公司计划到第二年年底获利不低于1130万元，请借助函数的大致图象说明第二年的销售单价x（元）应确定在什么范围？

Answer

（1）依题意当销售单价定为x元时，年销售量减少（x-100），则易求y与x之间的函数关系式，进而由题意易得Z与x之间的函数关系．
（2）把z与x的关系式化简，得出当x=170时，z取最大值；即可得出公司是盈利了还是亏损；
（3）根据z=（30-x）（x-40）-310=-x2+34x-1510=1130进而得出当120≤x≤220时，z≥1130画出图象得出即可．
【解析】
（1）依题意知，当销售单价定为x元时，年销售量减少（x-100）万件，
∴y=20-（x-100）=-x+30，
即y与x之间的函数关系式是y=-x+30．
由题意得：
z=y（x-40）-500-1500
=（30-x）（x-40）-500-1500
=-x2+34x-3200，
即z与x之间的函数关系是z=-x2+34x-3200．

（2）∵z=-x2+34x-3200，
=（x-170）2-310．
∴当x=170时，z取最大值，为-310，
即当销售单价为170元，年获利最大，并且第一年年底公司还差310万元就可收回全部投资．

（3）第二年的销售单价定为x元时，年获利为：
z=（30-x）（x-40）-310=-x2+34x-1510．
当z=1130时，即1130=-x2+34x-1510，
整理得x2-340x+26400=0，
解得：x1=120，x2=220．
函数z=-x2+34x-1510的图象大致如图所示，

由图象可以看出：当120≤x≤220时，z≥1130．
故第二年的销售单价应确定在不低于120元且不高于220元的范围内．