Question

如图，抛物线y=ax²+bx+c经过A（1，0）、B（5，0）两点，最低点的纵坐标为-4，与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）如图1，若△ABC的外接圆⊙O₁交y轴不同于点C的点D，且CD=AB，求tan∠ACB的值；
（3）如图2，设⊙O₁的弦DE∥x轴，在x轴上是否存在点F，使△OCF与△CDE相似？若存在，求出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据抛物线y=ax2+bx+c经过A（1，0）、B（5，0）两点，可得函数对称轴方程，又因为函数最低点的纵坐标为-4，所以可求的抛物线顶点坐标，设出抛物线顶点式，利用待定系数法解答即可；
（2）作出辅助线，过点O1作O1P⊥x轴于P，连接O1A，构造有一角∠AO1P与∠ACB相等的直角三角形，并求出相应边长，根据正切函数定义解答；
（3）①由（2）中结论，直线CF1过C（0，5），O（3，3），可求出CF1的解析式，易得F1的坐标；
②根据对称性，由①可以求出x轴上另一点F2（-，0）．
③④△OCF3与△DEC时，根据相似三角形的性质求出OF3的横坐标．
【解析】
（1）因为抛物线y=ax2+bx+c经过A（1，0）、B（5，0）两点，
所以二次函数的对称轴为x==3，
因为其最低点的纵坐标为-4，
故顶点坐标为（3，-4）．
设解析式为
y=a（x-3）2-4；
将A（1，0）代入解析式得a（1-3）2-4=0，
即a=1，
解析式为y=（x-3）2-4，
化为一般式得抛物线的函数解析式为：y=x2-6x+5；（本小题3分）

（2）tan∠ACB=．
过点O1作O1P⊥x轴于P，连接O1A，
由抛物线与圆的对称性可知O1P所在的直线是抛物线的对称轴．
故OP=3，AP=OP-OA=2，由CD=AB得：CD=AB=4
过点O1作O1Q⊥y轴于Q，由垂径定理得：DQ=CQ=2，O1P=OQ=OC-CQ=3，
故tan∠ACB=tan∠AO1P==；（本小题3分）

（3）①设CE交x轴于F1，
因为DE∥AB，所以∠DEC=∠OFC，∠COF1=∠CDE，
所以△OCF1∽△DCE．
直线CF1过C（0，5），O（3，3），
得其解析式为y=-x+5；
当y=0时，得x=，所以F1（，0）．
②△OCF2与△DCE相似时，根据对称性，由①可以求出x轴上另一点F2（-，0）．
③△OCF3与△DEC相似时，=，
即=，
两边平方得OF3=±．
存在点F，点F的坐标分别为：
F1（，0）、F2（，0）、F3（，0）、F4（，0）．
（适当写出过程，每求出一个点得1分）