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如图,在△ABC中,∠A=90°,AB=2cm,AC=4cm.动点P从点A出发,...

如图,在△ABC中,∠A=90°,AB=2cm,AC=4cm.动点P从点A出发,沿AB方向以1cm/s的速度向点B运动,动点Q从点B同时出发,沿BA方向以1cm/s的速度向点A运动.当点P到达点B时,P,Q两点同时停止运动,以AP为一边向上作正方形APDE,过点Q作QF∥BC,交AC于点F.设点P的运动时间为ts,正方形和梯形重合部分的面积为Scm2
(1)当t=______s时,点P与点Q重合;
(2)当t=______s时,点D在QF上;
(3)当点P在Q,B两点之间(不包括Q,B两点)时,求S与t之间的函数关系式.

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(1)当点P与点Q重合时,此时AP=BQ=t,且AP+BQ=AB=2,由此列一元一次方程求出t的值; (2)当点D在QF上时,如答图1所示,此时AP=BQ=t.由相似三角形比例线段关系可得PQ=t,从而由关系式AP+PQ+BQ=AB=2,列一元一次方程求出t的值; (3)当点P在Q,B两点之间(不包括Q,B两点)时,运动过程可以划分为两个阶段: ①当1<t≤时,如答图3所示,此时重合部分为梯形PDGQ.先计算梯形各边长,然后利用梯形面积公式求出S; ②当<t<2时,如答图4所示,此时重合部分为一个多边形.面积S由关系式“S=S正方形APDE-S△AQF-S△DMN”求出. 【解析】 (1)当点P与点Q重合时,AP=BQ=t,且AP+BQ=AB=2, ∴t+t=2,解得t=1s, 故填空答案:1. (2)当点D在QF上时,如答图1所示,此时AP=BQ=t. ∵QF∥BC,APDE为正方形,∴△PQD∽△ABC, ∴DP:PQ=AC:AB=2,则PQ=DP=AP=t. 由AP+PQ+BQ=AB=2,得t+t+t=2,解得:t=. 故填空答案:. (3)当P、Q重合时,由(1)知,此时t=1; 当D点在BC上时,如答图2所示,此时AP=BQ=t,BP=t,求得t=s,进一步分析可知此时点E与点F重合; 当点P到达B点时,此时t=2. 因此当P点在Q,B两点之间(不包括Q,B两点)时,其运动过程可分析如下: ①当1<t≤时,如答图3所示,此时重合部分为梯形PDGQ. 此时AP=BQ=t,∴AQ=2-t,PQ=AP-AQ=2t-2; 易知△ABC∽△AQF,可得AF=2AQ,EF=2EG. ∴EF=AF-AE=2(2-t)-t=4-3t,EG=EF=2-t, ∴DG=DE-EG=t-(2-t)=t-2. S=S梯形PDGQ=(PQ+DG)•PD, =[(2t-2)+(t-2)]•t, =t2-2t; ②当<t<2时,如答图4所示,此时重合部分为一个多边形. 此时AP=BQ=t,∴AQ=PB=2-t, 易知△ABC∽△AQF∽△PBM∽△DNM,可得AF=2AQ,PM=2PB,DM=2DN, ∴AF=4-2t,PM=4-2t. 又∵DM=DP-PM=t-(4-2t)=3t-4, ∴DN=(3t-4)=t-2,DM=3t-4. S=S正方形APDE-S△AQF-S△DMN=AP2-AQ•AF-DN•DM =t2-(2-t)(4-2t)-×(3t-4)×(3t-4) =-t2+10t-8. 综上所述,当点P在Q,B两点之间(不包括Q,B两点)时,S与t之间的函数关系式为: S=.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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