Question

如图，一次函数分别交y轴、x轴于A、B两点，抛物线y=-x²+bx+c过A、B两点．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）作垂直x轴的直线x=t，在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N．求当t取何值时，MN有最大值？最大值是多少？
（3）在（2）的情况下，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，求第四个顶点D的坐标．

Answer

（1）首先求得A、B点的坐标，然后利用待定系数法求抛物线的解析式；
（2）本问要点是求得线段MN的表达式，这个表达式是关于t的二次函数，利用二次函数的极值求线段MN的最大值；
（3）本问要点是明确D点的可能位置有三种情形，如答图2所示，不要遗漏．其中D1、D2在y轴上，利用线段数量关系容易求得坐标；D3点在第一象限，是直线D1N和D2M的交点，利用直线解析式求得交点坐标．
【解析】
（1）∵分别交y轴、x轴于A、B两点，
∴A、B点的坐标为：A（0，2），B（4，0）…（1分）
将x=0，y=2代入y=-x2+bx+c得c=2…（2分）
将x=4，y=0代入y=-x2+bx+c得0=-16+4b+2，解得b=，
∴抛物线解析式为：y=-x2+x+2…（3分）

（2）如答图1，设MN交x轴于点E，
则E（t，0），BE=4-t．
∵tan∠ABO===，
∴ME=BE•tan∠ABO=（4-t）×=2-t．
又N点在抛物线上，且xN=t，∴yN=-t2+t+2，
∴MN=yN-ME=-t2+t+2-（2-t）=-t2+4t…（5分）
∴当t=2时，MN有最大值4…（6分）

（3）由（2）可知，A（0，2），M（2，1），N（2，5）．
以A、M、N、D为顶点作平行四边形，D点的可能位置有三种情形，如答图2所示．…（7分）
（i）当D在y轴上时，设D的坐标为（0，a）
由AD=MN，得|a-2|=4，解得a1=6，a2=-2，
从而D为（0，6）或D（0，-2）…（8分）
（ii）当D不在y轴上时，由图可知D3为D1N与D2M的交点，
易得D1N的方程为y=x+6，D2M的方程为y=x-2，
由两方程联立解得D为（4，4）…（9分）
故所求的D点坐标为（0，6），（0，-2）或（4，4）…（10分）