Question

已知：如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，点O既是AC的中点，又是EF的中点．
（1）求证：△BOE≌△DOF；
（2）若OA=BD，则四边形ABCD是什么特殊四边形？说明理由．

Answer

（1）首先根据垂直可得∠BEO=∠DFO=90°，再由点O是EF的中点可得OE=OF，再加上对顶角∠DOF=∠BOE，可利用ASA证明△BOE≌△DOF；
（2）首先根据△BOE≌△DOF可得DO=BO，再加上条件AO=CO可得四边形ABCD是平行四边形，再证明DB=AC，可根据对角线相等的平行四边形是矩形证出结论．
（1）证明：∵BE⊥AC．DF⊥AC，
∴∠BEO=∠DFO=90°，
∵点O是EF的中点，
∴OE=OF，
又∵∠DOF=∠BOE，
∴△BOE≌△DOF（ASA）；

（2）【解析】
四边形ABCD是矩形．理由如下：
∵△BOE≌△DOF，
∴OB=OD，
又∵OA=OC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵OA=BD，OA=AC，
∴BD=AC，
∴▱ABCD是矩形．