Question

如图：在平面直角坐标系中，直线y=kx+3分别与x轴、y轴交于A、B两点，且OA=4，点C是x轴上一点，如果把△AOB沿着直线BC折叠，那么点A恰好落在y轴负半轴上的点D处．
（1）求直线AB的表达式；
（2）点D的坐标；
（3）求线段CD的长；
（4）求tan∠ABC的值．

Answer

（1）由OA的长得到点A的坐标，代入y=kx+3中求出k的值，从而确定出直线AB的表达式；
（2）令直线AB的表达式中的x=0，求出点B的坐标，从而得到OB的长，由OA的长，利用勾股定理求出AB的长，由折叠可知三角形ABC与三角形DBC全等，故AB与BD相等，由BD的长求出OD的长，得到点D的坐标；
（3）由折叠可知三角形ABC与三角形DBC全等，所以∠BAO与∠BDC相等，它们的正切值也相等，根据正切函数定义列出比例式求出OC的长，利用勾股定理可求出CD；
（4）由折叠可知三角形ABC与三角形DBC全等，所以∠ABC与∠DBC相等，把要求的tan∠ABC转换为tan∠DBC，根据正切函数定义求出值即可．
【解析】
（1）由OA=4得到：A（4，0），代入y=kx+3中得：
4k+3=0，解得：k=-，
则直线AB的表达式为y=-x+3；

（2）令x=0得：y=-×0+3=3，故B（0，3），
则OB=3，又OA=4，根据勾股定理得：AB=5，
由折叠可知：△ABC≌△DBC，∴AB=BD=5，
∴OD=2，故点D坐标为（0，-2）；

（3）由折叠可知：△ABC≌△DBC，
∴∠BAO=∠BDC，
则tan∠BAO=tan∠BDC，即=，则OC==，
在Rt△OCD中，CD==．

（4）由折叠可知：△ABC≌△DBC，∠ABC=∠DBC，
则tan∠ABC=tan∠DBC===．