Question

如图，在直角△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8．D、E分别是AC、BC边的中点，点P从A出发沿线段AD-DE-EB以每秒3个单位长的速度向B匀速运动；点Q从点A出发沿射线AB以每秒2个单位长的速度匀速运动，当点P与点B重合时停止运动，点Q也随之停止运动，设点P、Q运动时间是t秒，（t＞0）
（1）当t=______时，点P到达终点B；
（2）当点P运动到点D时，求△BPQ的面积；
（3）设△BPQ的面积为S，求出点Q在线段AB上运动时，S与t的函数关系式；
（4）请直接写出PQ∥DB时t的值．

Answer

（1）由已知和勾股定理先求出BC，再由D，E分别是AC，BC的中点，求出AD、DE、BE，从而求出t；
（2）先求出当点P运动到点D时所用时间，得出AQ的长，即可求出BQ的长，再根据△BPQ的面积=BQ•AP进行计算即可；
（3）由已知用t表示出AQ、AP、BQ，再由∠A=90°，通过面积公式求出S与t的函数关系式；
（4）通过假设，分两种情况讨论即可求解．
【解析】
（1）已知Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，
由勾股定理得：BC===10，
又由D，E分别是AC，BC的中点，
∴AD=4，DE=3，BE=5，
∴当点P到达终点B时所用时间t=（4+3+5）÷3=4（秒），
答t的值为4秒．

（2）当点P运动到点D时，所用时间为秒，
所以AQ=×2=，
∴BQ=6-=，
∴△BPQ的面积=BQ•AP=×4=；

（3）①如图，当点P在AD上（不包含D点），
由已知得：AQ=2t，AP=3t，
∴BQ=AB-AQ=6-2t，
已知∠A=90°，
∴△BPQ的面积S=BQ•AP=（6-2t）•3t=-3t2+9t，
所以Q在线段AB上运动时，S与t的函数关系式为S=-3t2+9t．
②如图当点P在DE（包括点D、E）上，
过点P作PF⊥AB于F，
则PF=AD=4，
∴△BPQ的面积S=BQ•PF=（6-2t）•4=12-4t，
所以此时Q在线段AB上运动时，S与t的函数关系式为S=12-4t．
③当点P在BE上（不包括E点），
由已知得：BP=3+4+5-3t=12-3t，
过点P作PF⊥AB于F，
∴PF∥AC，
∴△BPF∽△BCA，
∴=，
∴=，
∴PF=，
∴△BPQ的面积S=BQ•PF=（6-2t）•=-t+，
所以Q在线段AB上运动时，S与t的函数关系式为S=-t+，

（4）若PQ∥DB，则点P、Q必在DB同侧．分两种情况：
①当点Q在AB上，点P在AD上时，
假设PQ∥DB成立，
则△AQP∽△ABD，
∴=，
∴=，
此时方程的解是t=0，但此解不符合题意，
则PQ∥DB不成立，
②当3＜t＜4时，点Q在AB延长线上，点P在EB上，
此时PB=12-3t，PC=3t-7，BQ=2t-6．
若PQ∥DB，设直线PQ交DE与N，
∵DE∥AB，
∴△PEN∽△PBQ，
∴EN：BQ=PE：PB，
则EN=；
又∵NQ∥DB，
∴EN：ED=EP：EB，
则EN=，
所以=，
解得t=符合题意．
综上所述，当t= 时，PQ∥DB．