Question

如图，已知AB是⊙O的直径，AB=8，点C在半径OA上（点C与点O、A不重合），过点C作AB的垂线交⊙O于点D，联结OD，过点B作OD的平行线交⊙O于点E、交射线CD于点F．

（1）若，求∠F的度数；
（2）设CO=x，EF=y写出y与x之间的函数解析式，并写出定义域；
（3）设点C关于直线OD的对称点为P，若△PBE为等腰三角形，求OC的长．

Answer

（1）首先连接OE，由，OD∥BF，易得∠OBE=∠OEB=∠BOE=60°，又由CF⊥AB，即可求得∠F的度数；
（2）作OH⊥BE，垂足为H，易得△HBO≌△COD，即可得CO=BH=x，求得BE=2x，易得△COD∽△CBF，然后由相似三角形的对应边成比例，可得，则可求得y与x之间的函数解析式；
（3）由∠COD=∠OBE，∠OBE=∠OEB，∠DOE=∠OEB，可得∠COD=∠DOE，即可得C关于直线OD的对称点为P在线段OE上，然后分别从PB=PE，EB=EP，BE=BP去分析求解即可求得答案．
【解析】
（1）连接OE，-------------------------------------------------------（1分）
∵=，
∴∠BOE=∠EOD-------------------------------------------------------------------（1分）
∵OD∥BF，
∴∠DOE=∠BEO，
∵OB=OE，
∴∠OBE=∠OEB，-------------------------------------------------------------------（1分）
∴∠OBE=∠OEB=∠BOE=60°，---------------------------------------------------------------------（1分）
∵CF⊥AB，
∴∠FCB=90°，
∴∠F=30°；--------------------------------------------------------------------------（1分）

（2）作OH⊥BE，垂足为H，-----------------------------------------------------------------------------（1分）
∵在△HBO和△COD中，
，
∴△HBO≌△COD（AAS），-------------------------------------------------------------------------------------（1分）
∴CO=BH=x，
∴BE=2x，
∵OD∥BF，
∴△COD∽△CBF，
∴，--------------------------------------------------------------------（1分）
∴，
∴y=（0＜x＜4）；-------------------------（2分）

（3）∵∠COD=∠OBE，∠OBE=∠OEB，∠DOE=∠OEB，
∴∠COD=∠DOE，
∴C关于直线OD的对称点为P在线段OE上，----------------（1分）
若△PBE为等腰三角形，
设CO=x，
∴OP=OC=x，
则PE=OE-OP=4-x，
由（2）得：BE=2x，
①当PB=PE，不合题意舍去；--------------------------------------------------------------（1分）
②当EB=EP，2x=4-x，
解得：x=，---------------------------------------------------------（1分）
③当BE=BP，作BM⊥OE，垂足为M，
∴EM=PE=，
∴∠OEB=∠COD，∠BME=∠DCO=90°，
∴△BEM∽△DOC，
∴，
∴，
整理得：x2+x-4=0，
解得：x=（负数舍去）．----------------------------------（1分）
综上所述：当OC的长为或时，△PBE为等腰三角形．