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如图1,已知P为正方形ABCD的对角线AC上一点(不与A、C重合),PE⊥BC于...

如图1,已知P为正方形ABCD的对角线AC上一点(不与A、C重合),PE⊥BC于点E,PF⊥CD于点F.
(1)求证:BP=DP;
(2)如图2,若四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转,在旋转过程中是否总有BP=DP?若是,请给予证明;若不是,请用反例加以说明;
(3)试选取正方形ABCD的两个顶点,分别与四边形PECF的两个顶点连接,使得到的两条线段在四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等,并证明你的结论.

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(1)由正方形的性质可证△ABP≌△ADP,即BP=DP; (2)当四边形PECF的点P旋转到BC边上时,DP>DC>BP,此时BP=DP不成立; (3)由旋转的性质和正方形的性质可证△BEC≌△DFC,即BE=DF. (1)证明: 证法一:在△ABP与△ADP中, ∵AB=AD∠BAC=∠DAC,AP=AP, ∴△ABP≌△ADP, ∴BP=DP.(2分) 证法二:利用正方形的轴对称性,可得BP=DP.(2分) (2)【解析】 不是总成立.(3分) 当四边形PECF的点P旋转到BC边上时,DP>DC>BP,此时BP=DP不成立,(5分) 说明:未用举反例的方法说理的不得分. (3)【解析】 连接BE、DF,则BE与DF始终相等, , 在图1中,由正方形ABCD可证: AC平分∠BCD, ∵PE⊥BC,PF⊥CD, ∴PE=PF,∠BCD=90°, ∴四边形PECF为正方形.(7分) ∴CE=CF, ∵∠DCF=∠BCE, BC=CD, ∴△BEC≌△DFC, ∴BE=DF.(8分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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