Question

问题背景：
在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．
小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图①所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．
（1）若△ABC三边的长分别为（a＞0），请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC，并求出它的面积．
思维拓展：
（2）若△ABC三边的长分别为（m＞0，n＞0，且m≠n），试运用构图法求出这三角形的面积．
探索创新：
（3）已知a、b都是正数，a+b=3，求当a、b为何值时+有最小值，并求这个最小值．
（4）已知a，b，c，d都是正数，且a²+b²=c²，c=a²，求证：ab=cd．

Answer

（1）a是直角边长为a，2a的直角三角形的斜边；2a是直角边长为2a，2a的直角三角形的斜边；a是直角边长为a，4a的直角三角形的斜边，把它整理为一个矩形的面积减去三个直角三角形的面积；
（2）结合（1）易得此三角形的三边分别是直角边长为m，4n的直角三角形的斜边；直角边长为3m，2n的直角三角形的斜边；直角边长为2m，2n的直角三角形的斜边．同样把它整理为一个矩形的面积由（1）的结果可作BD=12，过点A作AF∥BD，交DE的延长线于F点，使AB=2，ED=3，连接AE交BD于点C，然后构造矩形AFDB，Rt△AFE，利用矩形的直角三角形的性质（3）可作BD=3，过点A作AF∥BD，交DE的延长线于F点，使AB=2，ED=5，连接AE交BD于点C，然后构造矩形AFDB，Rt△AFE，利用矩形的直角三角形的性质可求得AE的值就是代数式+的最小值．
（4）根据a2+b2=c2，c=a2，得出c2（a2-d2）=a4，进而得出（a2+b2）（a2-d2）=a4，再去括号得出a2b2=d2c2，即可得出答案．
【解析】
（1）如图：

S△ABC=2a×4a-a×2a-×2a×2a-a×4a=3a2；

（2）构造△ABC所示，（未在试卷上画出图形不扣分）

S△ABC=3m×4n-×m×4n-×3m×2n-×2m×2n=5mn．  

（3）如图所示：已知AB=2，DE=5，BD=3，
AB⊥BD，DE⊥BD，当AE在一条直线上时，AC+CE最小，
由题意得出：AB∥DE，
∴△ABC′∽△EDC′，
∴=，
∴=，
解得：BC′=，C′D=3-=，
过点A作AF∥BD，交DE的延长线于F点，
根据题意，四边形ABDF为矩形．
EF=AB+DE=2+5=7，AF=DB=3．
∴AE==．
即AC+CE的最小值是，
故：a=，b=3-=时，+有最小值为．

（4）证明：∵a2+b2=c2，c=a2，
∴c2（a2-d2）=a4，
则（a2+b2）（a2-d2）=a4，
整理得出：a2b2=a2d2+b2d2，
∴a2b2=d2（a2+b2），
∴a2b2=d2c2，
∵a，b，c，d都是正数，
∴ab=cd．