Question

如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，E为CD的中点，点P、Q为BC上两个动点，且PQ=3，当CQ=    时，四边形APQE的周长最小．

Answer

点A向右平移3个单位到M，点E关于BC的对称点F，连接MF，交BC于Q，要使四边形APQE的周长最小，只要AP+EQ最小就行，证△MNQ∽△FCQ即可．
【解析】
点A向右平移3个单位到M，点E关于BC的对称点F，连接MF，交BC于Q，
此时MQ+EQ最小，
∵PQ=3，DE=CE=2，AE==2，
∴要使四边形APQE的周长最小，只要AP+EQ最小就行，
即AP+EQ=MQ+EQ过M作MN⊥BC于N，
设CQ=x，则NQ=8-3-x=5-x，
∵△MNQ∽△FCQ，
∴=
∵MN=AB=4，CF=CE=2，CQ=x，QN=5-x，
解得：x=，则CQ=
故答案为：．