Question

已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象过点C（0，），与x轴交于两点A（x₁，0），B（x₂，0）（x₂＜x₁），且x₁+x₂=4，x₁x₂=-5．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）求二次函数的解析式和顶点P的坐标；
（3）若一次函数y=kx+m的图象过二次函数的顶点P，把△PAB分成两个部分，其中一个部分的面积不大于△PAB面积的，求m的取值范围．

Answer

（1）根据根与系数的关系得出方程Z2-4Z-5=0的两根，进而根据x2＜x1，求出A，B坐标即可；
（2）根据y=ax2+bx+c过A、B、C三点，利用待定系数法求出解析式即可；
（3）根据A，B坐标，利用△PAB底边3等分点得出相关直线解析式进而得出m的取值范围．
【解析】
（1）∵，
∴x1，x2是方程Z2-4Z-5=0的两根
解得：Z1=5，Z2=-1
∵x1＞x2，∴x1=5，x2=-1
∴A、B两点的坐标是A（5，0），B（-1，0）；

（2）∵y=ax2+bx+c过A、B、C三点
∴
解得：
∴二次函数的解析式为：
y=-x2+x+
即y=-（x-2）2+3，
∴顶点P的坐标为（2，3）；

（3）据图形特征知，当一次函数图象过P（2，3）且过（1，0）或（3，0）时，
就把△PAB分成两部分，其中一部分三角形的面积为△PAB面积的，
①设过（3，0），（2，3）的一次函数的解析式为：y=ax+b，
则，
解得：
故一次函数的解析式为：y=-3x+9，
同理可得出：过（5，0）（2，3）的一次函数的解析式为：y=-x+5．
又一次函数y=kx+m，当x=0时，y=m，
∴此一次函数图象与y轴交点的纵坐标为m．
观察图形变化得：5＜m≤9，
②过（-1，0）（2，3）的一次函数的解析式为y=x+1，
过（1，0）（2，3）的一次函数的解析式为y=3x-3．
观察图形变化得-3≤m＜1．
∴m的取值范围是：-3≤m＜1或5＜m≤9．