Question

如图，在正方形ABCD中，E是BC上的一点，连接AE，作BF⊥AE，垂足为H，交CD于F，作CG∥AE，交BF于G．求证：
（1）CG=BH；
（2）FC²=BF•GF；
（3）=．

Answer

（1）由互余关系得出∠BAH=∠CBG，而∠AHB=∠BGC=90°，AB=BC，可证△ABH≌△BCG，得出结论；
（2）在Rt△BCF中，CG⊥BF，利用互余关系可证△CFG∽△BFC，利用相似比得出结论；
（3）根据Rt△BCF中，CG⊥BF，同理可证△BCG∽△BFC，利用相似比得出BC2=BG•BF，即AB2=BG•BF，结合（2）的结论求比．
证明：（1）∵BF⊥AE，CG∥AE，
∴CG⊥BF，
∵在正方形ABCD中，∠ABH+∠CBG=90°，∠CBG+∠BCG=90°，
∠BAH+∠ABH=90°，
∴∠BAH=∠CBG，∠ABH=∠BCG，
AB=BC，
∴△ABH≌△BCG，
∴CG=BH； 

（2）∵∠BFC=∠CFG，∠BCF=∠CGF=90°，
∴△CFG∽△BFC，
∴=，
即FC2=BF•GF；    

（3）同（2）可知，BC2=BG•BF，
∵AB=BC，
∴AB2=BG•BF，
∴==，
即=．