Question

如图所示，AE是△FCD的中位线，BD∥AC，A，E，B三点共线，AB=8，FA=FE=6，则下列说法：①BE=4；②∠DEB=∠DBE；③AF=BD；④CD=2AE．正确的结论是（ ）

A．①②④
B．①②③
C．①③④
D．①②③④

Answer

根据两直线平行，内错角相等可得∠EAF=∠EBD，然后利用“角角边”证明△AEF和△BED全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=BE=4，从而判定①正确；再求出BD=AF判定③正确，然后求出BD=ED，根据等边对等角可得∠DEB=∠DBE，从而判定②正确；根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得CD=2AE，判定④正确．
【解析】
∵BD∥AC，
∴∠EAF=∠EBD，
∵AE是△FCD的中位线，
∴EF=ED，
在△AEF和△BED中，，
∴△AEF≌△BED（AAS），
∴AE=BE=AB=4，故①正确；
BD=AF，故③正确；
又∵FA=FE，
∴BD=ED，
∴∠DEB=∠DBE，故②正确；
∵AE是△FCD的中位线，
∴CD=2AE，故④正确；
所以，正确的结论有①②③④．
故选D．