Question

已知AM是⊙O的直径，B是⊙O上一点，过点B作BN⊥AM，垂足为N，其延长线交⊙O于点M，弦CD交AM于点E．
（1）通过适当的变换使得CD⊥AB，求证：EN=MN；
（2）弦CD交AB于点F，且CD=AB，求证：CE²=EF•ED；
（3）若弦CD、AB的延长线交于点F，且CD=AB，那么（2）中的结论是否仍然成立？请证明你的结论．

Answer

（1）求证EN=NM，只要证明△NEC≌△NMB即可；
（2）求证CE2=EF•ED，只需证△FEB∽△BED根据相似三角形的对应边成比例即可求得结论；
（3）成立．求证CE2=EF•ED，只需证△BDE∽△FBE，根据相似三角形对应边成比例即可得到结论．
（1）证明：如图1，连接BM，
∵AM是⊙O的直径，
∴∠ABM=90°．
∵CD⊥AB，
∴BM∥DC．
∴∠NBM=∠NCE．
∵ON是弦心距，
∴BN=NC，
在△NEC和△NMB中，
，
∴△NEC≌△NMB（ASA）．
∴EN=NM．

（2）证明：如图2，连接AC，BE，BD．
∵CD=AB，
∴=，
∴=，
∴∠ACD=∠BDC．
∴∠ACD=∠ABE，
∴∠BDC=∠ABE，∠BEF=∠BEF．
∴△FEB∽△BED．
∴EF•DE=BE2=CE2．

（3）如图3，（2）的结论仍成立．
证明：∵AM⊥BC，
∴BE=CE，AB=AC．
∴∠1=∠2，∠3=∠4．
∵AB=CD，
∴∠4=∠DBC．
∴∠3=∠DBC=∠2+∠5．
又∵∠3=∠F+∠1，
∴∠F=∠5．
∵∠BED=∠FEB，
∴△BDE∽△FBE．
∴BE：EF=ED：BE，
∴BE2=EF•ED．
∴CE2=EF•ED．