Question

已知如图抛物线y=x²-2x-3与x轴交于A、B两点（A在B的左侧）与y轴交于C点，顶点为D．
（1）求出A、B、C、D四点坐标；
（2）判断△AOC与△BCD是否相似，并说明理由；
（3）过C作直线CE平行x轴交抛物线另一个交点为E，动点F从C点开始，以每秒个单位的速度沿CF方向在射线CE上运动，动点G从B点开始以每秒4个单位速度沿BC方向在射线BC上运动．设动点F、G同时出发运动时间为t，问在抛物线上是否存在点H；使以C、G、H、F四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出相应t的值和H的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）抛物线的解析式中，令y=0，可求得点A、B的坐标，令x=0，可求得点C的坐标；将抛物线的解析式化为顶点坐标式，即可求得点D的坐标．
（2）根据已知的A、B、C、D的坐标，可求得两个三角形各自的三边长，然后证△BCD、△AOC的对应边成比例即可．
（3）此题可先求出满足以C、F、H、G四点为顶点的平行四边形的H点坐标，然后代入抛物线的解析式中进行验证即可．
分别过C、F、G作FG、CG、CF的平行线，那么这些平行线的交点即为所求的H点，设为H1、H2、H3，过G作GN⊥x轴于N，由于∠OBC=45°，即可根据BG的长表示出GN、BN的值，而CP的长易求得，根据平行四边形的性质（两组对边平行且相等），即可得到H1、H2的坐标，然后将它们代入抛物线的解析式中进行验证即可，若所得方程有解，则所得的解即为符合条件的H点坐标，若无解，则是说明不存在符合条件的H点．H3的坐标求法同上．
【解析】
（1）令y=0，即x2-2x-3=0，则x=3，x=-1，
∴A（-1，0），B（3，0）；
令x=0，即y=-3，
∴C（0，-3）；
由于y=x2-2x-3=（x-1）2-4，
故顶点D（1，-4）．

（2）相似，理由如下：
∵A（-1，0），B（3，0），C（0，-3），D（1，-4），
∴OA=1，OC=3，AC=；
CD=，BC=3，BD=2；
∴=，
故△AOC∽△DCB．

（3）分别过C、F、G作FG、CG、CF的平行线，三线交于H1、H2、H3（如图）；
则四边形CFGH1、四边形CFH2G、四边形H3FGC都是平行四边形；
过G作GM⊥x轴于M；
由于OB=OC=3，则∠OBC=45°；
易知BG=4t，则BM=MG=2t，OM=3-2t；
故G（3-2t，-2t）；
由于四边形CFGH1、四边形CFH2G都是平行四边形，
故H1G=GH2=CF=t，
∴H1（3-3t，-2t），H2（3-t，-2t）；
把H1代入抛物线的解析式中得：
（3-3t）2-2（3-3t）-3=-2t，
即9t2-5t=0；
解得t=0（舍去），t=；
当t=时，H1（-，-）；
把H2代入抛物线的解析式中得：
（3-t）2-2（3-t）-3=-2t，
即t2-t=0；
解得t=0（舍去），t=；
当t=时，H2（1，-4）；
过G作GP⊥y轴于P，过H3作H3Q⊥y轴于Q；
则有H3Q=GP-CF=3-2t-t=3-3t，CQ=CP=3-2t；
∴OQ=OC+CQ=6-2t；
∴H3（3t-3，2t-6）；
将H3代入抛物线的解析式中，有：
（3t-3）2-2（3t-3）-3=2t-6，
即9t2-13t+9=0，
解得t=；
当t=时，H3（，）；
当t=时，H4（，）．
故存在符合条件的H点，且：
当t=时，H1（-，-）；
当t=时，H2（1，-4）；
当t=时，H3（，）；
当t=时，H4（，）．