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如图:已知AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,OC与⊙O相交于点D,连接AD并延...

如图:已知AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,OC与⊙O相交于点D,连接AD并延长,与BC相交于点E.
(1)若BC=manfen5.com 满分网,CD=1,求⊙O的半径;
(2)取BE的中点F,连接DF,求证:DF是⊙O的切线.

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(1)先设⊙O的半径为r,由于AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,根据切线性质可知AB⊥BC,在Rt△OBC中,利用勾股定理可得(r+1)2=r2+()2,解得r=1; (2)连接OF,由于OA=OB,BF=EF,可知OF是△BAE的中位线,那么OF∥AE,于是∠A=∠2,根据三角形外角性质可得 ∠BOD=2∠A,易证∠1=∠2,而OD=OB,OF=OF,利用SAS可证△OBF≌△ODF,那么∠ODF=∠OBF=90°,于是OD⊥DF, 从而可证FD是⊙O的切线. 【解析】 (1)设⊙O的半径为r, ∵AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线, ∴AB⊥BC, 在Rt△OBC中,∵OC2=OB2+CB2, ∴(r+1)2=r2+()2, 解得r=1, ∴⊙O的半径为1;                     (2)连接OF, ∵OA=OB,BF=EF, ∴OF是△BAE的中位线, ∴OF∥AE, ∴∠A=∠2, 又∵∠BOD=2∠A, ∴∠1=∠2, 在△OBF和△ODF中, ∴△OBF≌△ODF, ∴∠ODF=∠OBF=90°, 即OD⊥DF, ∴FD是⊙O的切线.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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