Question

如图，BC为⊙O的直径，A是⊙O上一点，AD⊥BC于点D，直径BC=10，CD=2．
（1）求证：△ABD∽△CAD；
（2）求AD的值．

Answer

（1）先根据圆周角定理得出∠BAC=90°，再由同角的余角相等得出∠B=∠DAC，又∠ADB=∠CDA=90°，根据两角对应相等的两三角形相似即可证明△ABD∽△CAD；
（2）先由BC=10，CD=2，得出BD=8，再由△ABD∽△CAD，根据相似三角形对应边的边相等得出AD：CD=BD：AD，从而求出AD的值．
（1）证明：∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠DAC=90°．
∵AD⊥BC，
∴∠BAD+∠B=90°，
∴∠B=∠DAC．
在△ABD与△CAD中，
，
∴△ABD∽△CAD；

（2）∵BC=10，CD=2，
∴BD=8．
∵△ABD∽△CAD，
∴AD：CD=BD：AD，
∴AD2=CD•BD=8×2=16，
∴AD=4．