Question

如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O直径，E是CB延长线上一点，且∠BAE=∠C．
（1）求证：直线AE是⊙O的切线；
（2）若EB=AB，cosE=，AE=24，求EB的长及⊙O的半径．

Answer

（1）根据圆周角定理以及直径所对圆周角得出∠1+∠D=90°，进而得出∠DAE=90°，即可得出直线AE是⊙O的切线；
（2）根据锐角三角函数关系得出EB=进而得出即可，再设BD=4k，则AD=5k．在Rt△ABD中，由勾股定理得：AB=3k，即可得出k的值，进而得出答案．
（1）证明：连接BD．
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD=90°．
∴∠1+∠D=90°．
∵∠C=∠D，∠C=∠BAE，
∴∠D=∠BAE．
∴∠1+∠BAE=90°．
即∠DAE=90°．
∵AD是⊙O的直径，
∴直线AE是⊙O的切线．

（2）【解析】
过点B作BF⊥AE于点F，则∠BFE=90°．
∵EB=AB，
∴∠E=∠BAE，EF=AE=×24=12．
∵∠BFE=90°，，
∴=15．
∴AB=15．
由（1）∠D=∠BAE，又∠E=∠BAE，
∴∠D=∠E．
∵∠ABD=90°，
∴．
设BD=4k，则AD=5k．
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
AB==3k，可求得k=5．
∴AD=25．
∴⊙O的半径为．