Question

一种电讯信号转发装置的发射直径为31km．现要求：在一边长为30km的正方形城区选择若干个安装点，每个点安装一个这种转发装置，使这些装置转发的信号能完全覆盖这个城市．问：
（1）能否找到这样的4个安装点，使得这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求？
（2）至少需要选择多少个安装点，才能使这些点安装了这种转发装置后达到预设的要求？
答题要求：请你在解答时，画出必要的示意图，并用必要的计算、推理和文字来说明你的理由．（下面给出了几个边长为30km的正方形城区示意图，供解题时选用）

Answer

（1）可把正方形分割为四个全等的正方形，作出这些正方形的对角线，把装置放在交点处，交点到其余各个小正方形顶点的距离相等通过计算看是否适合；
（2）由（1）得到启示，把正方形分割为三个长方形，左边的一个矩形的对角线是能辐射的最大直径31，看能否把三个装置放在三个长方形的对角线的交点处．
【解析】
（1）将图1中的正方形等分成如图的四个小正方形，将这4个转发装置安装在这4个小正方形对角线的交点处，
此时，每个小正方形的对角线长为，每个转发装置都能完全覆盖一个小正方形区域，
故安装4个这种装置可以达到预设的要求．
（3分）（图案设计不唯一）

（2）将原正方形分割成如图2中的3个矩形，使得BE=31，H是CD的中点，将每个装置安装在这些矩形的对角线交点处，
则AE=，，
∴DO=，即如此安装三个这个转发装置，
能达到预设要求．（6分）
要用两个圆覆盖一个正方形，则一个圆至少要经过正方形相邻两个顶点．如图3，用一个直径为31的⊙O去覆盖边长为30的正方形ABCD，设⊙O经过A，B，⊙O与AD交于E，连BE，则AE=，这说明用两个直径都为31的圆不能完全覆盖正方形ABCD．
所以，至少要安装3个这种转发装置，才能达到预设要求．（8分）
评分说明：示意图（图1、图2、图3）每个图（1分）．