Question

如图，在直角坐标系中，平行四边形AOCD的边OC在x轴上，边AD与y轴交于点H，CD=10，sin∠OCD=．点E、F分别是边AD和对角线OD上的动点（点E不与A、D重合），∠OEF=∠A=∠DOC，设AE=t，OF=s．
（1）求直线DC的解析式；
（2）求s关于t的函数关系式，并写出t的取值范围；
（3）点E在边AD上移动的过程中，△OEF是否有可能成为一个等腰三角形？若有可能，请求出t的值；若不可能，请说明理由．

Answer

（1）因为四边形AOCD是平行四边形，根据题意求出sin∠OCD=sin∠OAH的值．然后根据勾股定理求出AH的值．又因为
∠A=∠DOC，AD∥OC，可推出AH=HD，AD=OC．求出C，D的坐标后设直线DC的解析式为y=kx+b代入已知坐标得出解析式；
（2）已知OA=OD，可得出OF=S．求出FD，AE和DE的表达式之后推出△AEO∽△DFE根据线段的相似比求出s=-t+10（0＜t＜12）；
（3）根据题意，要分为两种情况解答．当OF=EF，求得EO=ED，故可得出（t-6）2+64=（12-t）2求出t的值；当OE=EF时，即==1，易求t值．
【解析】
（1）∵AOCD是平行四边形
∴AO=DC=10，∠A=∠OCD
∴sin∠OCD=sin∠OAH=
∴OH=OA•sin∠A=10×=8
∴AH===6
又∵∠A=∠DOC，AD∥OC，
∴∠DOC=∠ADO，
∴∠A=∠ADO，OH⊥AD，
∴AH=HD=6，
∴AD=OC=12，
∴D（6，8）、C（12，O）．
设直线DC的解析式为y=kx+b可得．
-6k=8．k=-．b=16．
∴y=-x+16；（4分）

（2）∵OA=OD=10，
∵OF=S，
∴FD=10-S，AE=t，DE=12-t
又∵∠OEF=∠EDF．
∴∠AEO+∠FED=180°-∠OEF，∠DEF+∠EFD=180°-∠EDF．
∴∠AEO=∠EFD，∠A=∠EDF，
∴△AEO∽△DFE，
∴=．
∴=，100-10s=12t-t2，
∴s=-t+10（0＜t＜12）；（3分）

（3）∠OFE＞∠FDE=∠OEF．
∴OF≠OE．（1分）
∴△OEF是等腰三角形，则只有①OF=EF②OE=EF
①当OF=EF时．
∴∠OEF=∠EOF=∠EDO，∴EO=ED．即（t-6）2+64=（12-t）2，t=（2分）
②当OE=EF时
则==1即OA=DE．12-t=10，t=2．
∴当t=或t=2时△OEF是等腰三角形．（2分）