Question

如图①，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=120°，点P是线段AC上的动点（点P与点A、点C不重合），连接BP．将△ABP绕点P按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜180°），得到△A₁B₁P，连接AA₁，直线AA₁分别交直线PB、直线BB₁于点E，F．
（1）如图①，当0°＜α＜60°时，在α角变化过程中，△APA₁与△BPB₁始终存在______关系（填“相似”或“全等”），同时可得∠A₁AP______∠B₁BP（填“=”或“＜”“＞”关系）．请说明△BEF与△AEP之间具有相似关系；
（2）如图②，设∠ABP=β，当120°＜α＜180°时，在α角变化过程中，是否存在△BEF与△AEP全等？若存在，求出α与β之间的数量关系；若不存在，请说明理由；
（3）如图③，当α=120°时，点E、F与点B重合．已知AB=4，设AP=x，S=△A₁BB₁面积，求S关于x的函数关系式

Answer

（1）由旋转角相等得到一对角相等，且两对边相等，可得出三角形APA1与三角形BPB1为顶角相等的等腰三角形，利用内角和定理得到底角相等，再根据对顶角相等，等量代换得到一对角相等，又一对角为公共角，利用两对对应角相等的两三角形相似即可得到三角形BEF与三角形AEP相似；
（2）存在，理由为：由（1）得出三角形BEF与三角形AEP相似，要使两三角形全等，只需找出一对角相等，即BE=AE即可，此时利用等边对等角得到一对角相等，由AB=BC，∠ABC=120°，求出∠BAC的度数，表示出∠PAA1的度数，由∴∠BAE=∠ABP=∠BAC-∠PAA1，将各自的值代入即可列出两三角形全等时，α与β满足的关系；
（3）过点P做PH⊥AA1于点H，过点B做BM⊥B1A1交B1A1的延长线于点M，如图③所示，由旋转的性质得到△APB≌△A1PB1，根据全等三角形的对应边相等，对应角相等得到∠BAP=∠B1A1P，AB=A1B1=4，由∠APA1=α=120°，利用三角形的内角和定理得到∠BAP=∠PA1A=∠B1A1P=30°，进而得到∠AA1D=∠BA1M=60°，在Rt△PHA和Rt△BM A1中，利用锐角三角函数定义由x表示出AH，AA1，表示出A1B，利用锐角三角形函数定义表示出BM，三角形A1BB1为B1A1为底边，BM为高，利用三角形的面积公式即可列出S关于x的函数解析式．
【解析】
（1）∵∠APA1=∠BPB1=α，AP=A1P，BP=B1P，
∴∠PAA1=∠PBB1=（180°-α）=90°-，
∵∠PBB1=∠EBF，
∴∠EBF=∠PAE，又∠BEF=∠AEP，
∴△BEF∽△AEP；
故答案为：相似，=；
（2）存在，同上可证△BEF∽△AEP，
∴若要使得△BEF≌△AEP，只需满足BE=AE即可，
∴∠BAE=∠ABE，
∵∠ABC=120°，AB=BC，∠APA1=α，AP=A1P，
∴∠BAC=30°，∠PAA1=90°-，
∴∠BAE=∠ABP=∠BAC-∠PAA1，
∴β=30°-（90°-）=-60°，
则当△BEF≌△AEP时，β=-60°（或α=2β+120°）；
（3）过点P做PH⊥AA1于点H，
过点B做BM⊥B1A1交B1A1的延长线于点M，
∵△APB≌△A1PB1，
∴∠BAP=∠B1A1P，AB=A1B1=4，
∵∠APA1=α=120°，
∴∠BAP=∠PA1A=∠B1A1P=30°，
∴∠AA1D=∠BA1M=60°，
∴在Rt△PHA和Rt△BM A1中，AP=x，AH=x，AA1=x，
∴A1B=AB-AA1=4-x，
∴BM=A1Bsin60°=（4-x）=2-x，
则S=A1B1•BM=×4×（2-x）=4-3x．