Question

如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，P为BC中点，∠EPF=90°，给出四个结论：①∠B=∠BAP；②AE=CF；③PE=PF；④S_{四边形AEPF}=S_△ABC，其中成立的有（ ）

A．4个
B．3个
C．2个
D．1个

Answer

对直角三角形、等腰三角形的边，角及面积进行考查，利用等腰三角形的性质得出角相等，利用全等三角形求得边相等以及面积相等．
【解析】
∵AB=AC，∠BAC=90°，P为BC中点，∴①正确；
∠B=∠PAC=45°∵∠BPE+∠EPA=90°，∠EPA+∠APF=90°
∴∠BPE=∠APF，又AP为公共边，
∴△PBE≌△PAF，∴BE=AF，又AB=AC，∴AE=CF，∴②正确；
②中，△PBE≌△PAF，∴PE=PF，∴③正确，
∵△PFC≌△PEA，△PBE≌△PAF，∴④也正确
所以①②③④都正确，故选A．