Question

如图，在平面直角坐标系中，O为原点，每个小方格的边长为1个单位长度．正方形ABCD顶点都在格点上，其中点A的坐标为（1，1）．若将正方形ABCD绕点A顺时针方向旋转90°，点B到达点B₁，点C到达点C₁，点D到达点D₁，若线段AC₁的长度与点D₁的横坐标的差恰好是一元二次方程x²+ax+1=0的一个根，则a的值为    ．

Answer

首先根据题意，作出旋转后的图形，由A的坐标为（1，1）可知一格代表单位1，求出AC的长，即AC1的长，由图象可以写出D1的横坐标，根据线段AC1的长度与点D1的横坐标的差恰好是一元二次方程x2+ax+1=0的一个根，作差代入，求出a的值．
【解析】
由题意作图如右：
∵A的坐标为（1，1），
∴D（0，3），C（2，4），D1（3，2），
根据旋转的性质知AC=AC1==，
∵D1（3，2），
∴D1横坐标为x=3，
∴线段AC1的长度与点D1的横坐标的差为-3；
∵-3是一元二次方程x2+ax+1=0的一个根，
∴+（-3）a+1=0，
整理得a=-2．
故答案为-2．