Question

如图，抛物线y=x²-2x-3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），直线l与抛物线交于A，C两点，其中点C的横坐标为2．
（1）求A，B两点的坐标及直线AC的函数表达式；
（2）P是线段AC上的一个动点（P与A，C不重合），过P点作y轴的平行线交抛物线于点E，求△ACE面积的最大值；
（3）若直线PE为抛物线的对称轴，抛物线与y轴交于点D，直线AC与y轴交于点Q，点M为直线PE上一动点，则在x轴上是否存在一点N，使四边形DMNQ的周长最小？若存在，求出这个最小值及点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．
（4）点H是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、H四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer

（1）令抛物线y=x2-2x-3=0，求出x的值，即可求A，B两点的坐标，根据两点式求出直线AC的函数表达式；
（2）设P点的横坐标为x（-1≤x≤2），求出P、E的坐标，用x表示出线段PE的长，求出PE的最大值，进而求出△ACE的面积最大值；
（3）根据D点关于PE的对称点为点C（2，-3），点Q（0，-1）点关于x轴的对称点为M（0，1），则四边形DMNQ的周长最小，求出直线CM的解析式为y=-2x+1，进而求出最小值和点M，N的坐标；
（4）结合图形，分两类进行讨论，①CF平行x轴，如图1，此时可以求出F点两个坐标；②CF不平行x轴，如题中的图2，此时可以求出F点的两个坐标．
【解析】
（1）令y=0，解得x1=-1或x2=3，
∴A（-1，0），B（3，0）；
将C点的横坐标x=2代入y=x2-2x-3得y=-3，
∴C（2，-3），
∴直线AC的函数解析式是y=-x-1，

（2）设P点的横坐标为x（-1≤x≤2），
则P、E的坐标分别为：P（x，-x-1），E（x，x2-2x-3），
∵P点在E点的上方，PE=（-x-1）-（x2-2x-3）=-x2+x+2，
∴当x=时，PE的最大值=，
△ACE的面积最大值=PE[2-（-1）]=PE=，

（3）D点关于PE的对称点为点C（2，-3），点Q（0，-1）点关于x轴的对称点为M（0，1），
连接CM交直线PE与M点，交x轴于N点，可求直线CM的解析式为y=-2x+1，此时四边形DMNQ的周长最小，
最小值=|CM|=2，
求得M（1，-1），N（，0）．

（4）存在如图1，若AF∥CH，此时的D和H点重合，CD=2，则AF=2，

于是可得F1（1，0），F2（-3，0），
如图2，根据点A和F的坐标中点和点C和点H的坐标中点相同，

再根据|HA|=|CF|，
求出F4（4-，0），F3．
综上所述，满足条件的F点坐标为F1（1，0），F2（-3，0），F3，F4（4-，0）．