Question

直线y=x-6与x轴、y轴分别交于点A、B，点E从B点，出发以每秒1个单位的速度沿线段BO向O点移动（与B、O点不重合），过E作EF∥AB，交x轴于F．将四边形ABEF沿EF折叠，得到四边形DCEF，设点E的运动时间为t秒．
（1）①直线y=x-6与坐标轴交点坐标是A（______，______），B（______，______）；
②画出t=2时，四边形ABEF沿EF折叠后的图形（不写画法）；
（2）若CD交y轴于H点，求证：四边形DHEF为平行四边形；并求t为何值时，四边形DHEF为菱形（计算结果不需化简）；
（3）设四边形DCEF落在第一象限内的图形面积为S，求S关于t的函数表达式，并求出S的最大值．

Answer

（1）利用图象与坐标轴交点求法，与x轴相交y=0，与y轴相交，x=0，分别求出即可；
（2）根据菱形的判定方法求出要使四边形DHEF为菱形，只需EF=DF，利用DF=FA=EB=t，进而求出即可；
（3）分两种情况讨论：①当0＜t≤3时，四边形DCEF落在第一象限内的图形是△DFG，②当3＜t＜6时，
四边形DCEF落在第一象限内的图形是四边形DHOF，分别求出即可．
【解析】
（1）①∵图象与x轴相交y=0，与y轴相交，x=0，分别求出：
直线y=x-6与坐标轴交点坐标是：A（6，0），B（0，-6）；
②如图1，四边形DCEF即为四边形ABEF沿EF折叠后的图形；

（2）∵四边形DCEF与四边形ABEF关于直线EF对称，
又AB∥EF，
∴CD∥EF．
∵OA=OB，∠AOB=90°，
∴∠BAO=45°．
∵AB∥EF，
∴∠AFE=135°．
∴∠DFE=∠AFE=135°．
∴∠AFD=360°-2×135°=90°，即DF⊥x轴．
∴DF∥EH，
∴四边形DHEF为平行四边形．
要使四边形DHEF为菱形，
只需EF=DF，
∵AB∥EF，∠FAB=∠EBA，
∴FA=EB．
∴DF=FA=EB=t．
又∵OE=OF=6-t，
∴EF=．
∴=t．
∴=12-6．
∴当t=12-6时，四边形DHEF为菱形．

（3）分两种情况讨论：
①当0＜t≤3时，
四边形DCEF落在第一象限内的图形是△DFG，
∴S=．
∵S=，在t＞0时，S随t增大而增大，
∴t=3时，S最大=；
②当3＜t＜6时，
四边形DCEF落在第一象限内的图形是四边形DHOF，
∴S四边形DHOF=S△DGF-S△HGO．
∴S=，
=，
=．
∵a=＜0，
∴S有最大值．
∴当t=4时，S最大=6．
综上所述，当t=4时，S最大值为6．