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如图,已知正方形ABCD,将一块等腰直角三角尺的锐角顶点与A重合,并将三角尺绕点...

如图,已知正方形ABCD,将一块等腰直角三角尺的锐角顶点与A重合,并将三角尺绕点旋转,如图1,使它的斜边与BC交于点E,一条直角边与CD交于点F(E、F不与B、D重合),AE、AF分别与BD交于P、Q两点.
(1)求证:△ABP∽△ACF,且相似比为1:manfen5.com 满分网
(2)请再在图1中(不再添线和加注字母)找出两对相似比为1:manfen5.com 满分网的非直角三角形的相似三角形;(直接写出)
(3)如图2,当M点旋转到BC的垂直平分线PQ上时,连接ON,若ON=8,求MQ的长.
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(1)∵四边形ABCD是正方形,可以求出∠BAC=∠ABD=45°,.由已知知道∠MAN=45°,再证明∠3=∠2就可以证明两三角形相似.得到结论. (2)利用相似三角形的判定方法,两角对应相等的两三角形相似可以找到结论. (3)作NG⊥PQ于点G,可以证明三角形全等,得到NG=OG=MQ,在Rt△NGO中利用勾股定理求出NG的长,从而求出其解, (1)证明:∵△NMA是等腰直角三角形, ∴∠NAM=45°, ∵四边形ABCD是正方形, ∴,∠ABO=∠BAO=∠ACF=45°, ∴∠ABO=∠BAO=∠NAM=∠ACF, ∴∠BAO-∠1=∠NAM-∠1, ∴∠3=∠2, ∴△ABP∽△ACF, ∵, ∴△ABP∽△ACF,且相似比为1:, (2)【解析】 由相似三角形的判定方法得:△AQD∽△AEC;△APQ∽△AFE. (3)【解析】 作NG⊥PQ于点G, ∴∠MGQ=90°, ∴∠GNM+∠NMG=90°, ∵∠NMA=90°, ∴∠NMG+∠AMQ=90°, ∴∠GNM=∠AMQ, ∵MQ是BC的中垂线, ∴∠AQM=90°, ∴∠AQM=∠NGM, ∵AM=NM, ∴△NGM≌△MQA, ∴NG=MQ,MG=AQ, ∵AQ=QO, ∴QO=MG, ∴MO+QO=MO+MG, 即MQ=GO, ∴NG=GO,由勾股定理得,GO=4, ∴MQ=4.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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