Question

如图，在直角坐标系中，A（0，6），C（8，0），OA、AC的中点为M、N，动点P从O出发以每秒1个单位的速度按照箭头方向通过C、N到M，设P点从O开始运动的路程为x，△AOP的面积为y．
（1）求直线AC的解析式；
（2）点P从O出发到M止，求y与x的函数关系式；
（3）若⊙P的半径为3，⊙N的半径为1；在点P运动过程中，t为何值时⊙P与⊙N相切，（直接写出t值）．

Answer

（1）直接运用待定系数法将点A、B的坐标代入解析式就可以求出直线AC的解析式．
（2）y与x的函数关系式，从点A在三段不同的线段上运动的变化规律不同有三个不同的解析式，当在CN上移动是利用勾股定理表示出高从而表示出关系式．
（3）⊙P与⊙N相切的位置分为六种情况进行计算，利用圆相切的性质求出相应的t的值．
【解析】
（1）设直线AC的解析式为：y=kx+b，由题意得：
解得：

∴直线AC的解析式为：

（2）①当0＜x≤8时，
y=OP•AO
∵OP=t，AO=6
y=3x； 
②当8＜x≤13时，由勾股定理可以求出：AC=10
∵N是AC的中点
∴NC=AC=5
∵M是AO中点，
∴MN是△AOC得中位线
∴MN=OC=4
作PE⊥OA于E
∴△AEP∽△AOC
∴
∴解得：
PE=
∴y=
即；

③当13＜x＜17时，
PN=x-13
∴MP=4-（x-13）=17-x
∴y=
∴y=-3x+51

（3）利用三角形相似和勾股定理可以求出：
t=9或11或15或17或4+或4-