Question

某工厂现有甲种原料280kg，乙种原料190kg，计划用这两种原料生产A，B两种产品50件，已知生产一件A产品需甲种原料7kg、乙种原料3kg，可获利400元；生产一件B产品需甲种原料3kg，乙种原料5kg，可获利350元．
（1）请问工厂有哪几种生产方案？
（2）选择哪种方案可获利最大，最大利润是多少？

Answer

（1）关系式为①A产品需甲种原料量+B产品需甲种原料量≤280；②A产品需乙种原料量+B产品需乙种原料量≤190，列不等式组即可求解；
（2）利润为：A产品数量×400+B产品数量×350，按自变量的取值求得最大利润．
【解析】
（1）设生产A产品x件，生产B产品（50-x）件，则

解得30≤x≤32.5
∵x为正整数
∴x可取30，31，32．
当x=30时，50-x=20，
当x=31时，50-x=19，
当x=32时，50-x=18，
所以工厂可有三种生产方案，分别为
方案一：生产A产品30件，生产B产品20件；
方案二：生产A产品31件，生产B产品19件；
方案三：生产A产品32件，生产B产品18件；

（2）法一：方案一的利润为30×400+20×350=19000元；
方案二的利润为31×400+19×350=19050元；
方案三的利润为32×400+18×350=19100元．
因此选择方案三可获利最多，最大利润为19100元．
法二：设生产A产品x件，生产B产品（50-x）件，可获利共y元，
∴y=400x+350（50-x）=50x+17500，
∵此函数y随x的增大而增大，
∴当x=32时，可获利最多，最大利润为19100元．