Question

如图所示，AC⊥AB，AB=2，AC=2，点D是以AB为直径的平面O上一动点，DE⊥CD交直线AB于点E，设∠DAB=α（0°＜α＜90°）．
（1）当α=18°时，求的长；
（2）当α=30°时，求线段BE的长；
（3）若要使点E在线段BA的延长线上，则α的取值范围是______．（直接写出答案）

Answer

（1）首先连接OD，由圆周角定理，可求得∠DOB的度数，又由⊙O的直径为2，即可求得其半径，然后由弧长公式，即可求得答案；
（2）首先证得△ACD∽△BED，然后由相似三角形的对应边成比例，可得，继而求得答案；
（3）首先求得A与E重合时α的度数，则可求得点E在线段BA的延长线上时，α的取值范围．
【解析】
（1）连接OD，
∵α=18°，
∴∠DOB=2α=36°，
∵AB=2，
∴⊙O的半径为：，
∴的长为：=π；

（2）∵AB是⊙O为的直径，
∴∠ADB=90°，
∵α=30°，
∴∠B=60°，
∵AC⊥AB，DE⊥CD，
∴∠CAB=∠CDE=90°，
∴∠CAD=90°-α=60°，
∴∠CAD=∠B，
∵∠CDA+∠ADE=∠ADE+∠BDE=90°，
∴∠CDA=∠BDE，
∴△ACD∽△BED，
∴，
∵AB=2，α=30°，
∴BD=AB=，
∴AD==3，
∴，
∴BE=；
经检验，BE=是原分式方程的解．

（3）如图，当E与A重合时，
∵AB是直径，AD⊥CD，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∴C，D，B共线，
∵AC⊥AB，
∴在Rt△ABC中，AB=2，AC=2，
∴tan∠ABC==，
∴∠ABC=30°，
∴α=∠DAB=90°-∠ABC=60°，
当E′在BA的延长线上时，如图，可得∠D′AB＞∠DAB＞60°，
∵0°＜α＜90°，
∴α的取值范围是：60°＜α＜90°．
故答案为：60°＜α＜90°．