Question

如图，已知正方形ABCD．
（1）请用直尺和圆规，作出正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到的正方形AB′C′D′（其中B′，C′，D′分别是点B，C，D的像）（要求保留作图痕迹，不必写出作法）；
（2）设CD与B′C′相交于O点，求证：OD=OB′；
（3）若正方形的边长为，求两个正方形的重叠部分（四边形AB′OD）的面积．

Answer

（1）分别将B，C，D绕点A逆时针旋转45°即可得出答案即可；
（2）利用正方形AB′C′D′由正方形ABCD旋转得到，得出AD=AB′，∠ADO=∠AB′O=90°，进而求出∠ODB′=∠OB′D得出答案即可；
（3）首先得出△OB′C是等腰直角三角形，再利用CD=OC+OD得出S四边形AB′OD=S△ACD-S△B′CO求出即可．
【解析】
（1）如图所示：

（2）连接B′D．
∵正方形AB′C′D′由正方形ABCD旋转得到，
∴AD=AB′，∠ADO=∠AB′O=90°，
∴∠ADB′=∠AB′D，
∴∠ODB′=∠OB′D，
∴OD=OB′． 

（3）连接AC．
∵正方形ABCD，
∴∠CAB=45°．
由题意知∠BAB′=45°，
∴∠CAB=∠BAB′，即B′在AC上，
∴△OB′C是等腰直角三角形．
设OD=OB′=x，则OC=．
∵CD=，
∴，
解得：x=1．
故S四边形AB′OD=S△ACD-S△B′CO=．