Question

九年级上册的教材第118页有这样一道习题：
“在一块三角形余料ABC中，它的边BC=120mm，高线AD=80mm．要把它加工成正方形零件（如图），使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．问加工成的正方形零件的边长为多少mm？”
（1）请你解答上题；
（2）若将上题图中的正方形PQMN改为矩形，其余条件不变，求矩形PQMN的面积S的最大值；
（3）我们把上面习题中的正方形PQMN叫做“BC边上的△ABC的内接正方形”，若在习题的条件下，又知AB=150mm，AC=100mm，请分别写出AB边上的△ABC的内接正方形的边长和AC边上的△ABC的内接正方形的边长（不必写出过程，只要直接写出答案即可，结果精确到1mm）；
（4）结合第（1）、（3）题，若三角形的三边长分别为a，b，c，各边上的高分别为h_a，h_b，h_c，要使a边上的三角形内接正方形的面积最大，请写出a与h_a必须满足的条件（不必写出过程）．

Answer

（1）设正方形的边长为xmm，然后表示出AE的长度，再根据相似三角形对应高的比等于对应边的比列出比例式，计算即可得解；
（2）设PN=x，用PQ表示出AE的长度，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式并用x表示出PN，然后根据矩形的面积公式列式计算，再根据二次函数的最值问题解答；
（3）根据AB、AC的长度求出相应边上的高，然后根据（1）中的方法计算即可；
（4）用三角形的边长与相应边上的高表示出这边上的内接正方形的边长，再根据正方形的面积越大，则边长越大解答．
【解析】
（1）设正方形的边长为xmm，由条件可得△APN∽△ABC，
∴，
即，
解得x=48mm；

（2）设PN=xmm，由条件可得△APN∽△ABC，
∴，
即，
解得PQ=80-x．
∴S=PN•PQ=x（80-x）=-x2+80x=-（x-60）2+2400，
∴S的最大值为2400mm2；

（3）根据△ABC的面积，∵AB=150mm，AC=100mm，
∴AB边上的高==64mm，
AC边上的高==96mm，
根据（1）的方法，求AB边上的内接正方形的边长，，
解得x=≈45；
求AC边上的内接正方形的边长，，
解得x=≈49mm；

（4）根据（1）（3）题的结论，内接正方形的边长为三角形的面积除以相应边与这一边上的高的和的一半，
所以，要使a边上的三角形内接正方形的面积最大，
必须a+ha＜b+hb且a+ha＜c+hc．