Question

如图，抛物线l交x轴于点A（-3，0）、B（1，0），交y轴于点C（0，-3）．将抛物线l沿y轴翻折得抛物线l₁．
（1）求l₁的解析式；
（2）在l₁的对称轴上找出点P，使点P到点A的对称点A₁及C两点的距离差最大，并说出理由；
（3）平行于x轴的一条直线交抛物线l₁于E、F两点，若以EF为直径的圆恰与x轴相切，求此圆的半径．

Answer

（1）首先求出翻折变换后点A、B所对应点的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线l1的解析式；
（2）如图2所示，连接B1C并延长，与对称轴x=1交于点P，则点P即为所求．利用轴对称的性质以及三角形三边关系（三角形两边之差小于第三边）可以证明此结论．为求点P的坐标，首先需要求出直线B1C的解析式；
（3）如图3所示，所求的圆有两个，注意不要遗漏．解题要点是利用圆的半径表示点F（或点E）的坐标，然后代入抛物线的解析式，解一元二次方程求出此圆的半径．
【解析】
（1）如图1所示，设经翻折后，点A、B的对应点分别为A1、B1，
依题意，由翻折变换的性质可知A1（3，0），B1（-1，0），C点坐标不变，
因此，抛物线l1经过A1（3，0），B1（-1，0），C（0，-3）三点，
设抛物线l1的解析式为y=ax2+bx+c，则有：
，
解得a=1，b=-2，c=-3，
故抛物线l1的解析式为：y=x2-2x-3．

（2）抛物线l1的对称轴为：x==1，
如图2所示，连接B1C并延长，与对称轴x=1交于点P，则点P即为所求．
此时，|PA1-PC|=|PB1-PC|=B1C．
设P′为对称轴x=1上不同于点P的任意一点，则有：
|P′A1-P′C|=|P′B1-P′C|＜B1C（三角形两边之差小于第三边），
故|P′B1-P′C|＜|PA1-PC|，即|PA1-PC|最大．
设直线B1C的解析式为y=kx+b，则有：
，解得k=b=-3，
故直线B1C的解析式为：y=-3x-3．
令x=1，得y=-6，
故P（1，-6）．

（3）依题意画出图形，如图3所示，有两种情况．
①当圆位于x轴上方时，设圆心为D，半径为r，
由抛物线及圆的对称性可知，点D位于对称轴x=1上，
则D（1，r），F（1+r，r）．
∵点F（1+r，r）在抛物线y=x2-2x-3上，
∴r=（1+r）2-2（1+r）-3，化简得：r2-r-4=0
解得r1=，r2=（舍去），
∴此圆的半径为；
②当圆位于x轴下方时，同理可求得圆的半径为．
综上所述，此圆的半径为或．