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已知:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC的平分线BD交AC于点D,D...

已知:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC的平分线BD交AC于点D,DE⊥DB交AB于点E.
(1)设⊙O是△BDE的外接圆,求证:AC是⊙O的切线;
(2)如果BC=9,AC=12,求⊙O的半径r.

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(1)连接OD,由OB=OD和角平分线性质得出∠ODB=∠DBC.推出OD∥BC,得出∠ODC=90°,根据切线的判定推出即可; (2)由平行线得出△ADO∽△ACB,推出比例式,代入求出即可. (1)证明:∵DE⊥DB,⊙O是Rt△BDE的外接圆, ∴BE是⊙O的直径,点O是BE的中点, 连接OD. ∵OB=OD, ∴∠ABD=∠ODB. ∵BD为∠ABC的平分线, ∴∠ABD=∠DBC. ∴∠ODB=∠DBC. ∴OD∥BC, ∵∠C=90°, ∴∠ADO=∠C=90°. ∵OD是半径, ∴AC是⊙O的切线; (2)【解析】 在Rt△ABC中,AB==15, ∵OD∥BC, ∴△ADO∽△ACB, ∴=, ∴=, 解得:r=.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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