Question

已知：y关于x的函数y=（k-1）x²-2kx+k+2的图象与x轴有交点．
（1）求k的取值范围；
（2）若x₁，x₂是函数图象与x轴两个交点的横坐标，且满足（k-1）x₁²+2kx₂+k+2=4x₁x₂．
①求k的值；②当k≤x≤k+2时，请结合函数图象确定y的最大值和最小值．

Answer

（1）分两种情况讨论，当k=1时，可求出函数为一次函数，必与x轴有一交点；当k≠1时，函数为二次函数，若与x轴有交点，则△≥0．
（2）①根据（k-1）x12+2kx2+k+2=4x1x2及根与系数的关系，建立关于k的方程，求出k的值；②充分利用图象，直接得出y的最大值和最小值．
【解析】
（1）当k=1时，函数为一次函数y=-2x+3，其图象与x轴有一个交点．…（1分）
当k≠1时，函数为二次函数，其图象与x轴有一个或两个交点，
令y=0得（k-1）x2-2kx+k+2=0．
△=（-2k）2-4（k-1）（k+2）≥0，解得k≤2．即k≤2且k≠1．…（2分）
综上所述，k的取值范围是k≤2．…（3分）
（2）①∵x1≠x2，由（1）知k≤2且k≠1，函数图象与x轴两个交点，
∴k＜2，且k≠1．
由题意得（k-1）x12+（k+2）=2kx1．（*）…（4分）
将（*）代入（k-1）x12+2kx2+k+2=4x1x2中得：
2k（x1+x2）=4x1x2．…（5分）
又∵x1+x2=，x1x2=，
∴2k•=4•．…（6分）
解得：k1=-1，k2=2（不合题意，舍去）．
∴所求k值为-1．…（7分）
②如图，∵k1=-1，y=-2x2+2x+1=-2（x-）2+．
且-1≤x≤1．…（8分）
由图象知：当x=-1时，y最小=-3；当x=时，y最大=．…（9分）
∴y的最大值为，最小值为-3．…（10分）