Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠CAB交BC于点D，过点C作CE⊥AD于E，CE的延长线交AB于点F，过点E作EG∥BC交AB于点G，AE•AD=16，AB=4，
（1）求证：CE=EF；
（2）求EG长．

Answer

（1）根据AD平分∠CAB交BC于点D，CE⊥AD证明△ACE和△AFE全等，根据全等三角形对应边相等，CE=EF，
（2）因为∠CAD是公共角，∠ACB=∠AEC=90°，所以△ACE和△ADC相似，根据相似三角形对应边成比例，列出比例式整理即可得到AC2=AE•AD，代入数据计算即可求出AC的长，再根据勾股定理求出BC的长度为8，最后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半EG=BC．
（1）证明：∵AD平分∠CAB交BC于点D，
∴∠CAE=∠FAE，
∵CE⊥AD，
∴∠AEC=∠AEF=90°，
在△ACE和△AFE中，
，
∴△ACE≌△AFE（ASA），
∴CE=EF；

（2）【解析】
∵CE⊥AD，
∴∠AEC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠AEC=∠ACB，
又∵∠CAE=∠CAE，
∴△ACE∽△ADC，
∴，
即AC2=AE•AD，
∵AE•AD=16，
∴AC2=16，
∴AC=4，
∴△ABC中，BC==8，
∵EG∥BC，
∴EG=×8=4．