Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上，OA=8，OC=4．现有两动点P、Q分别从O、C同时出发，点P在线段OA上沿OA方向以每秒2个单位长的速度匀速运动，点Q在线段CO上沿CO方向以每秒1个单位长的速度匀速运动．设运动时间为t秒．
（1）填空：OP=______，OQ=______；（用含t的式子表示）
（2）试证明：四边形OPBQ的面积是一个定值，并求出这个定值；
（3）当∠QPB=90°时，抛物线经过B、P两点，过线段BP上一动点M作y轴的平行线交抛物线于点N，交线段CB于点G，交x轴于点H，连结PG，BH，试探究：当线段MN的长取最大值时，判定四边形GPHB的形状．

Answer

（1）根据运动的速度即可求解；
（2）根据S四边形OPBQ=S四边形OABC-S△PAB-S△CBQ，分别利用t表示出S四边形OABC，S△PAB，S△CBQ，即可求解；
（3）易证：△OPQ～△ABP，根据相似三角形的对应边的比相等，即可求得t的值，则P的坐标可以求得，利用待定系数法即可求得函数的解析式，则MN的长度可以利用t表示出来，然后利用函数的性质即可求解．
【解析】
（1）填空：OP=2t，OQ=4-t       …（2分）
（2）根据题意，易知：AB=4，PA=（8-2t），BC=8，CQ=t
∴S四边形OPBQ=S四边形OABC-S△PAB-S△CBQ…（3分）
=4×8-AB×PA-BC×CQ
=32-×4×（8-2t）-×8×t
=32-16+4t-4t=16
∴四边形OPBQ的面积是一个定值，这个定值是16…（5分）
（3）当∠QPB=90°时，
易证：△OPQ～△ABP…（6分）
∴（7分）
∴
解得：t=1  或t=4（不合，舍去）
∴t=1
∴OP=2，即点P（2，0）…（8分）
又点B（8，4）、点P（2，0）在抛物线上，
可求得：，c=4
∴此时抛物线的解析式为…（9分）
由点P（2，0），点B（8，4）可求得直线PB的解析式为…（10分）
则根据题意设点M（x，），点 N（x，）…（11分）
∴MN=-（）
=
∴当x=5时，MN最大值为3…（12分）
此时PG=OG-OP=5-2=3，BH=CB-CH=8-5=3
∴PG与BH平行且相等
∴四边形GPHB是平行四边形．…（13分）