Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CP平分∠ACB，CP与AB交于点D，且 PA=PB．
（1）请你过点P分别向AC、BC作垂线，垂足分别为点E、F，并判断四边形PECF的形状；
（2）求证：△PAB为等腰直角三角形；
（3）设PA=m，PC=n，试用m、n的代数式表示△ABC的周长；
（4）试探索当边AC、BC的长度变化时，的值是否发生变化，若不变，请直接写出这个不变的值，若变化，试说明理由．

Answer

（1）四边形PECF的形状是正方形，易证四边形PECF是矩形，由角平分线的性质可知：PE=PF，所以四边形PECF是正方形；  
（2）先根据角平分线及线段垂直平分线的作法作出P点，过点P分别作PE⊥AC、PF⊥CB，垂足为E、F，由全等三角形的判定定理得出Rt△APE≌Rt△BPF，再由全等三角形的性质即可判断出△PAB是等腰直角三角形；
（3）如图4，在Rt△PAB中，∠APB=90°，PA=PB，PA=m，所以AB=PA=，由（2）中的证明过程可知，Rt△AEP≌Rt△BFP，可得AE=BF，CE=CF，所以CA+CB=CE+EA+CB=CE+CF=2CE，又PC=n，所以在正方形PECF中，CE=PC=n．所以CA+CB=2CE=．进而求出△ABC的周长；
（4）因为∠1=∠2=∠3=∠4=45°，且∠ADC=∠PDB，所以△ADC∽△PDB，故，即，…①同理可得，△CDB∽△ADP，得到 ，…②又PA=PB，则①+②得：===，所以这个值仍不变为．
【解析】
（1）四边形PECF的形状是正方形，理由如下：
过点P分别作PE⊥AC、PF⊥CB，垂足分别为E、F（如图4）
∵∠ACB=90°，又由作图可知PE⊥AC、PF⊥CB，
∴四边形PECF是矩形，
又∵点P在∠ACB的角平分线上，
且PE⊥AC、PF⊥CB，
∴PE=PF，
∴四边形PECF是正方形；

（2）证明：在Rt△AEP和Rt△BFP中，
∵PE=PF，PA=PB，∠AEP=∠BFP=90°，
∴Rt△AEP≌Rt△BFP，
∴∠APE=∠BPF，
∵∠EPF=90°，从而∠APB=90°．
又因为PA=PB，
∴△PAB是等腰直角三角形；    

（3）如图4，在Rt△PAB中，∠APB=90°，PA=PB，PA=m，
∴AB=PA=．                                        
由（2）中的证明过程可知，Rt△AEP≌Rt△BFP，可得AE=BF，CE=CF，
∴CA+CB=CE+EA+CB=CE+CF=2CE，又PC=n，
∴在正方形PECF中，CE=PC=n．
∴CA+CB=2CE=．
∴△ABC的周长为：AB+BC+CA=+；

（4）当边AC、BC的长度变化时，的值不变，．理由如下：
如图4，∵∠1=∠2=∠3=∠4=45°，且∠ADC=∠PDB，
∴△ADC∽△PDB，故，即，…①
同理可得，△CDB∽△ADP，得到 ，…②
又PA=PB，则①+②得：===．
∴这个值仍不变为．