Question

如图，点A、B在⊙O上，直线AC是⊙O的切线，OC⊥OB，连接AB交OC于点D．
（1）AC与CD相等吗？问什么？
（2）若AC=2，AO=，求OD的长度．

Answer

（1）AC=CD，理由为：由AC为圆的切线，利用切线的性质得到∠OAC为直角，再由OC与OB垂直，得到∠BOC为直角，由OA=OB，利用等边对等角得到一对角相等，再利用对顶角相等及等角的余角相等得到一对角相等，利用等角对等边即可得证；
（2）由ODC=OD+DC，DC=AC，表示出OC，在直角三角形OAC中，利用勾股定理即可求出OD的长．
【解析】
（1）AC=CD，理由为：
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠B，
∵直线AC为圆O的切线，
∴∠OAC=∠OAB+∠DAC=90°，
∵OB⊥OC，
∴∠BOC=90°，
∴∠ODB+∠B=90°，
∵∠ODB=∠CDA，
∴∠CDA+∠B=90°，
∴∠DAC=∠CDA，
则AC=CD；

（2）在Rt△OAC中，AC=CD=2，AO=，OC=OD+DC=OD+2，
根据勾股定理得：OC2=AC2+AO2，即（OD+2）2=22+（）2，
解得：OD=1．