Question

如图，AB是⊙O的直径，AF是⊙O切线，CD是垂直于AB的弦，垂足为E，过点C作DA的平行线与AF相交于点F，CD=，BE=2．求证：
（1）四边形FADC是菱形；
（2）FC是⊙O的切线．

Answer

（1）首先连接OC，由垂径定理，可求得CE的长，又由勾股定理，可求得半径OC的长，然后由勾股定理求得AD的长，即可得AD=CD，易证得四边形FADC是平行四边形，继而证得四边形FADC是菱形；
（2）首先连接OF，易证得△AFO≌△CFO，继而可证得FC是⊙O的切线．
证明：（1）连接OC，
∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴CE=DE=CD=×4=2，
设OC=x，
∵BE=2，
∴OE=x-2，
在Rt△OCE中，OC2=OE2+CE2，
∴x2=（x-2）2+（2）2，
解得：x=4，
∴OA=OC=4，OE=2，
∴AE=6，
在Rt△AED中，AD==4，
∴AD=CD，
∵AF是⊙O切线，
∴AF⊥AB，
∵CD⊥AB，
∴AF∥CD，
∵CF∥AD，
∴四边形FADC是平行四边形，
∴▱FADC是菱形；

（2）连接OF，
∵四边形FADC是菱形，
∴FA=FC，
在△AFO和△CFO中，
，
∴△AFO≌△CFO（SSS），
∴∠FCO=∠FAO=90°，
即OC⊥FC，
∵点C在⊙O上，
∴FC是⊙O的切线．